¿Es correcta esta sustitución para resolver una integral?

Question

Para resolver la integral:

$\int\frac {x}{\sqrt{4-x^2}}\ dx$

He utilizado la sustitución:

$u = \sqrt{4-x^2}$

por lo tanto:

$\frac{du}{dx} = -\frac {x}{\sqrt{4-x^2}}$

$dx = -\frac {\sqrt{4-x^2}}{x}\ du$

Así que la integral se convierte en:

$\int\frac {x}{u}(-\frac {\sqrt{4-x^2}}{x})\ du$

$= \int\frac {x}{u}(-\frac {u}{x})\ du$

$= \int -1\ du$

$= -u+c$

$= -\sqrt{ 4-x^2}+c$

Sin embargo la solución que he visto es:

Utilice la sustitución $x = 2\sin(t)$ Así que $dx = 2\cos(t)\ dt$

Así que la integral se convierte en:

$\int \frac {2\sin(t)(2\cos(t))}{\sqrt{\cos(t)^2}}\ dt$

Después de algunos reajustes, la integral se convierte en

$\int 2\sin(t)\ dt$

Lo que da:

$-2\cos(t)+c$

A continuación, utilizando $\sin(t) = \frac x2$ :

$\cos(t)^2 = 1 - \sin(t)^2$

$\cos(t)^2 = 1 - \frac {x^2}{4} = \frac{4-x^2}{4}$

$\cos(t) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$

Lo que da entonces la solución como:

$= -\sqrt{ 4-x^2}+c$

Me parece que el método que he utilizado es más eficaz, ya que no requiere el uso de funciones trigonométricas. Estoy bastante seguro de que mi método es correcto, así que ¿por qué la solución utiliza funciones trigonométricas? ¿Tuve la suerte de decidir $u = \sqrt{ 4-x^2}$ ¿fue una buena sustitución?

Answer 1

Ambos tienen más en común de lo que parece en un principio porque $u=\sqrt{4-4\sin^2 t}=\cos t,\,du=-\frac{x}{2}dt$ . Una sustitución trigonométrica es útil en tal variedad de problemas que se ha convertido en una parte estándar del conjunto de herramientas.

Answer 2

Bueno, no está de más resolver la cuestión de cualquier manera. Algunos son más eficientes, otros no. Lo que importa es que sea correcto, que en este caso lo es.

Por cierto, la sustitución trigonométrica es estándar en este tipo de problemas, (que implican $\sqrt{a^2\pm x^2}$ ) por lo que debes tener en cuenta para usarlo primero, ya que funciona la mayoría de las veces.

Answer 3

Dejemos que $4-x^2=u$

Entonces $xdx=-\frac {du} 2$ ......