Prueba de la cota superior mínima de $\frac{x}{x+1}$

Question

Las preguntas dicen: Demostrar que existe un único número real positivo $m$ que tiene las dos propiedades siguientes.

1. Para cada número real positivo $x$ , $\frac{x}{x+1}<m$ .
2. Si $y$ es cualquier número real positivo con la propiedad de que para cada número real positivo $x$ , $\frac{x}{x+1}<y$ entonces $m\leq y$ .

Lo que me preocupa es la prueba de la segunda parte, ya que no estoy seguro de si es válida o hay una forma más clara de formularla.

Para la primera parte he utilizado $m=1$ . Mi duda es con mi segunda porción

Mi prueba:

Supongamos, por si acaso, que existe un $y<m$ tal que $\frac{x}{x+1}<y$ . Entonces $0<\frac{x}{x+1}<y<1$ . Así, $y$ puede escribirse como $\frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos y $q>p$ . Como $p$ y $q$ son enteros positivos, entonces $q-p\geq1$ . Así, $q+1\geq p+2$ . Así que tenemos $\frac{x}{x+1} < \frac{p}{q} < \frac{p+1}{q+1} \leq \frac{p+1}{p+2}$ . Sin embargo, si elegimos $x=p+1$ entonces $\frac{x}{x+1} = \frac{p+1}{p+2} \geq y$ llegamos a una contradicción. Por lo que se deduce que si $y$ es cualquier número real positivo con la propiedad de que para cada número real positivo $x$ , $\frac{x}{x+1}<y$ entonces $m\leq y$ .

Mis preguntas concretas son:

1. ¿Es válido expresar $\frac{p+1}{p+2}$ como $\frac{x}{x+1}$ o tengo que elegir otra variable $y$ para demostrar que es lo mismo.
2. ¿Es necesario mostrar $\frac{p}{q} < \frac{p+1}{q+1}$ ? ¿O hace que la prueba sea demasiado larga?
3. ¿Hay una forma más sucinta de demostrarlo?

Answer 1

$$ \dfrac{x}{x+1} < \dfrac{x+1}{x+1} \implies \dfrac{x}{x+1} < 1 $$

Así que 1 es un límite superior. Sea $\epsilon < 1$ Demostraremos que existe una $x$ para lo cual $\dfrac{x}{x+1} = 1-\epsilon$

\begin{align} \dfrac{x}{x+1} &= 1-\epsilon \\ x(1-\epsilon) + 1(1-\epsilon) &= x \\ -\epsilon x &= -(1-\epsilon) \\ x &= \dfrac{1-\epsilon}{\epsilon} \end{align}

Por lo tanto, para todos los positivos \epsilon cerca de $0$ , $x = \dfrac{1-\epsilon}{\epsilon}$ nos dará $\dfrac{x}{x+1} = 1-\epsilon$ .

De ello se desprende que $1$ es el LUB de $\dfrac{x}{x+1}$ .