Si $\alpha = 2\arctan(2\sqrt{2}-1)$ y $\beta = 3\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)+\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\;,$ Entonces demuestre que $\alpha>\beta$

Question

Si $\alpha = 2\arctan(2\sqrt{2}-1)$ y $\displaystyle \beta = 3\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)+\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\;,$ Entonces demuestre que $\alpha>\beta$

$\bf{My\; Try::}$ Dado $$ \alpha = \arctan \bigg(\frac{2(2\sqrt{2}-1)}{1-(2\sqrt{2}-1)^2}\bigg)=\arctan \bigg(\frac{(2\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{2}-4}\bigg)$$

y $$\beta = \arcsin\bigg(1-\frac{4}{27}\bigg)+\arcsin\bigg(\frac{3}{5}\bigg) = \arcsin\bigg(\frac{23}{27}\bigg)+\arcsin\bigg(\frac{3}{5}\bigg)$$

Así que $$\arcsin\bigg[\frac{23}{27}\cdot \frac{4}{5}+\frac{3}{5}\cdot \frac{10\sqrt{2}}{23}\bigg]$$

Ahora cómo puedo resolverlo, se requiere ayuda, Gracias

Answer 1

SUGERENCIA:

Como $\arcsin\dfrac13<\arcsin\dfrac12=\dfrac\pi6$

$3\arcsin\dfrac13=\arcsin\dfrac{23}{27}=\arctan\dfrac{23}{10\sqrt2}$

$\arcsin\dfrac35=\arctan\dfrac34$

Como $\dfrac{23}{10\sqrt2}\cdot\dfrac34>1,$

utilizando Duda de identidad de la función trigonométrica inversa: $\tan^{-1}x+\tan^{-1}y =-\pi+\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ cuando $x<0$ , $y<0$ y $xy>1$ ,

$$\arctan\dfrac{23}{10\sqrt2}+\arctan\dfrac34=\pi+\arctan\dfrac{\dfrac{23}{10\sqrt2}+\dfrac34}{1-\dfrac{23}{10\sqrt2}\cdot\dfrac34}$$

Como $2\sqrt2-1>1$ $$2\arctan(2\sqrt{2}-1)=\pi+\arctan ?$$

Ahora para $\dfrac\pi2>a>b>-\dfrac\pi2,\arctan a>\arctan b $

Answer 2

Por un lado tenemos $$\tan{\alpha\over2}=2\sqrt{2}-1>\sqrt{3}=\tan{\pi\over3}\ ,$$ por lo que ${\alpha\over2}>{\pi\over3}$ o $$\alpha>{2\pi\over3}\ .$$ Por otro lado, la convexidad de $$t\mapsto\arcsin t\qquad(0\leq t\leq{\pi\over2})$$ implica

$$\arcsin{1\over3}<{2\over3}\arcsin{1\over2}={2\over3}\>{\pi\over6}={\pi\over9}\ .$$ Además $\arcsin{3\over5}<\arcsin{1\over\sqrt{2}}={\pi\over4}$ . De ello se desprende que $$\beta<3{\pi\over9}+{\pi\over4}={7\pi\over12}<\alpha\ .$$

Answer 3

\begin{align} \beta&=\sqrt{10}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\arcsin\frac13+\frac{1}{\sqrt{10}}\arcsin\frac35\right)\\ &<\sqrt{10}\arcsin\left(\frac{4\sqrt{10}}{25}\right) \end{align} donde utilizo la convexidad de $\arcsin$ . Por otro lado, utilizando la definición de $\arctan$ obtenemos $$\arcsin\left(\frac{4\sqrt{10}}{25}\right)=\arctan\left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{93}}\right).$$ Ahora bien, tenga en cuenta que $\sqrt{10}<4$ por lo que debemos comprobar si $$2\arctan\left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{93}}\right)<\arctan(2\sqrt2-1)$$ Por lo tanto, (con $\tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$ ) debería demostrar que $$\frac{8\sqrt{186}}{61}<2\sqrt2-1.$$