En busca de un ejemplo memorable de "(Pearson-)uncorrelated $\not\Rightarrow$ independiente"

Question

Estoy buscando un ejemplo fácil de recordar (y no trivial) que ilustre vívidamente que la "descorrelación" (en el sentido de Pearson) de dos variables aleatorias $X, Y$ no implica que $X$ y $Y$ son independientes. Por "no trivial" quiero decir que todas las probabilidades conjuntas son positivas (siempre que los marginales asociados lo sean). Me doy cuenta de que puede ser demasiado complicado encontrar un ejemplo no trivial que sea lo suficientemente vívido o fácil de recordar, en cuyo caso, la condición de no trivialidad puede relajarse.

(El hecho de que el ejemplo presente una distribución discreta o continua no es importante en sí mismo; lo que importa es que el ejemplo sea lo suficientemente sencillo como para pensarlo, idealmente en la cabeza).

Gracias.

Answer 1

El ejemplo estándar para esto es considerar una variable continua, uniformemente distribuida $X$ en $[-1,1]$ y luego mirar $X$ y $X^{2}$ . No están correlacionados, pero son obviamente dependientes.

El Artículo de la Wikipedia sobre "Descorrelación" cita este ejemplo y da otro más explícito y discreto con cálculos.

Como se menciona en el Artículo de Wikipedia sobre Correlación ,

"El coeficiente de correlación de Pearson indica la fuerza de una relación lineal entre dos variables, pero su valor generalmente no caracteriza completamente su relación. En particular, si la media condicional de Y dada X, denotada E(Y|X), no es lineal en X, el coeficiente de correlación no determinará completamente la forma de E(Y|X)."

En el caso particular del $X$ , $X^{2}$ ejemplo que mencioné, tenemos que $E[X^{2}|X=x] = x^{2}$ que no es lineal, y una aproximación lineal hace un trabajo bastante terrible lejos de $x=0$ . Ese es el "por qué" detrás de esto... inventamos una variable aleatoria especial tal que su media condicional depende de $X$ de forma precisamente no lineal. Como el coeficiente de Pearson pretende medir la linealidad de esa media condicional, resume la relación entre esta $X$ y $X^{2}$ como $0$ ... es decir, sin correlación.