Si $f$ es continua, $f(1) >1$ y $f(x+y)=f(x)f(y)$ entonces $f$ está aumentando.

Question

Considere la función $f$ con las siguientes propiedades:

$$\lim_{x\rightarrow 0} f(x) =1,$$ $$f(x+y)=f(x)\,f(y),$$ $$f(x) >0,\quad \forall x\in\mathbb{R},$$ $$ -\infty<x,y<\infty.$$

Demuestre que si $\,f(1) = p >1,\,$ entonces $f$ está aumentando en $\mathbb{R}$ .

¿Cómo voy a mostrar esto sin usar la continuidad?

Edición: He preguntado a mi profesor y ahora lo he resuelto. Aquí está la prueba.

Supongamos que $f$ es continua en $\mathbb{Q}$ . Supongamos que $f(1) = p >1$ . Definir $g(x) = f(1)^x$ , donde $g(x)$ es continua en $\mathbb{R}$ . A partir de un ejercicio anterior descubrimos que $f(x)=f(1)^x$ si $x\in\mathbb{Q}$ . Esto demuestra que $f(x)=g(x)$ para todos $x\in\mathbb{Q}$ . Desde $\mathbb{Q}$ es un subconjunto denso de $\mathbb{R}$ tenemos que $f(x)=g(x)$ para todos $x\in\mathbb{R}$ . Además, tenemos que $f$ es continua en $\mathbb{R}$ . Entonces, toma $x_1<x_2$ . Esto da $f(x_1) = p^{x_1} > 1$ y $f(x_2) = p^{x_2} > 1$ . Así, el álgebra dicta que $p^{x_1} < p^{x_2}$ desde $p >1$ . Por lo tanto, dado $x_1<x_2$ tenemos $f(x_1)<f(x_2)$ lo que demuestra que $f$ está aumentando.

Answer 1

Paso 1. $f(x)>0$ para todos $x\in \mathbb R$ . Esto se obtiene combinando el hecho de que $$ f(x)=\left(f\left(\frac{x}{n}\right)\right)^n\quad\text{and}\quad \lim_{x\to 0}f(0)=1. $$

Paso 2. Establezca $g(x)=\log f(x)$ . Entonces $g(x+y)=g(x)+g(y)$ y $\lim_{x\to 0}g(0)=0$ . Demostraremos que $g$ es continua. En efecto, $$ \lvert g(x+h)-g(x)\rvert=\lvert g(h)\rvert\to 0. $$ Así, $g(x)=xg(1)$ . Esto se debe a que $g(n)=ng(1)$ , para $n$ entero, y $g(1)=ng(1/n)$ y por lo tanto $g(m/n)=mg(1)/n$ y para cada $x$ real, que $q_n\to x$ con $q_n$ racional y obtener, debido a la continuidad de $g$ que $$ g(x)=\lim_{n\to\infty}g(q_n)=\lim_{n\to\infty}q_ng(1)=xg(1). $$

y por lo tanto $f(x)=\mathrm{e}^{cx}$ , donde $c=g(1)$ y como $f(1)>1$ entonces $c>0$ y por lo tanto $f$ está aumentando.

Answer 2

Pistas:

1. Prueba continuidad en $0$ (es decir $f(0)=1$ ) al conectar $x=0$ y considerando $y\to 0$ en (2).
2. Utilizando esto y (2) de nuevo, demuestre la continuidad en cualquier $x$ .
3. Prueba $f(1/n)>1$ para todos $n\in\Bbb N$ .
4. A continuación, utilice la continuidad para demostrar que $f$ está aumentando.

Answer 3

Desde $$\lim_{x\to x_0}f(x)\stackrel{(2)}=f(x_0)\lim_{x\to x_0}f(x-x_0)\stackrel{(1)}=f(x_0)$$ vemos que $f$ es continua. Supongamos que $f(x_0)=0$ para algunos $x_0$ . Entonces $f(x)=f(x-x_0)f(x_0)=0$ para todos $x$ , contradiciendo $f(1)>1$ . Entonces $f(x)>0$ para todos $x$ por la IVT. Esto nos permite concluir $f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$ de $(2)$ para que $f$ es un homomorfismo de grupo $\mathbb R\to (0,\infty)$ . El núcleo es un subgrupo de $\mathbb R$ Por lo tanto, es $\{0\}$ o $a\mathbb Z$ para algunos $a>0$ o densa. En este último caso, $f$ es constante por continuidad, contradiciendo a $f(1)\ne1$ . En el segundo caso, $f(\frac12a)^2=1$ y $f(\frac12a)>0$ da una contradicción. Concluimos que $f(x)\ne 1$ para $x\ne0$ . Por lo tanto, $f$ es inyectiva y por continuidad estrictamente monótona. Desde $f(0)=1<f(1)$ vemos que $f$ debe ser estrictamente creciente.