Dejemos que $A$ sea una matriz cuyo radio espectral $\rho(A) < 1$ . ¿Se puede decir algo sobre $\|A^2\|_2, \|A^3\|_2, \dots$ en relación con $\|A\|_2$ ?
Sé que $\|A^k\| \le \|A\|^k$ pero estoy buscando algo más. ¿Se puede decir que $\|A^k\|_2 \le \|A\|_2$ ?
El otro resultado que pude encontrar es de estas notas que dicen que $A^k \rightarrow 0$ .
La condición $\rho(A) < 1$ para $n \times n$ matrices no restringe $\|A^k\|_2$ para cualquier $k < n$ . Por ejemplo, si $A$ tiene entradas $t$ en la primera superdiagonal y $0$ en todos los demás lugares (es decir $t$ veces un único bloque Jordan de tamaño $n$ para el valor propio $0$ ), tenemos $\|A^k \|_2 = |t|^k$ para $1 \le k \le n-1$ pero $\rho(A) = 0$ .
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