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$n^2 \equiv (-5) \mod p$

Necesito determinar todos los primos p para los que -5 es un residuo cuadrático módulo p. La pregunta original es

Encuentra los primos Impares que dividen enteros de la forma $n^2+5$ ?

Mi intento:

lo que obtengo es... $$n^2 \equiv (-5) \mod p$$ Sé cómo resolver $n^2 \equiv 5 \mod p$ cuál es la diferencia si se sustituye por -5 . ¿Significa... todo primo de la forma $$p=\pm 1 , \pm3 \mod 10 ??$$

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¿Conoces el símbolo de Legendre y concretamente sus propiedades multiplicativas?

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Eso sería todos los primos de impar excepto $5$ que no es correcto. Primero hay que tener en cuenta que $5$ debe incluirse (por ejemplo, el cuadrado $0^2=0\equiv -5 \bmod 5$ - es fácil pasar por alto casos especiales. Sería útil si pudieras mostrar algunos trabajos - en este momento es difícil ver lo que puedes haber hecho - pero el carácter cuadrático de $-1$ modulo $p$ depende de $p\bmod 4$

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Technophile Puntos 101

Tenemos el símbolo de Legendre $$\left(\frac{-5}p\right)=\left(\frac5p\right)\left(\frac{-1}p\right)=+1$$

Hay dos casos principales:

  • Si ambos símbolos de Legendre son $+1$ entonces (como ya se ha demostrado) o bien $p=5$ (el caso excepcional) o $p\equiv\pm1\bmod5$ . $\left(\frac{-1}p\right)=+1$ precisamente cuando $p\equiv1\bmod4$ . Combinando estas dos congruencias se obtiene $p\equiv1,9\bmod20$ .
  • Si ambos símbolos de Legendre son $-1$ resolviendo cada símbolo se obtiene $p\equiv\pm2\bmod5$ y $p\equiv3\bmod4$ o $p\equiv3,7\bmod20$ .

Por lo tanto, los primos Impares que son factores de $n^2+5$ son $5$ y los congruentes con $1,3,7,9\bmod20$ .

4voto

Faiz Puntos 1660

Los posibles factores primos hasta $5$ son $2,3,5$ que puede ser descubierto por la inspección.

Para los primos $p>5$ Hay que distinguir entre dos casos:

$(1)$ $p=4k+1$ . En este caso, $-1$ es un residuo cuadrático y, por tanto, también $5$ . Así, las formas posibles son $20k+1$ y $20k+9$

$(2)$ $p=4k+3$ . En este caso, $-1$ no es un residuo cuadrático, por lo que tampoco lo es $5$ . Así, las formas posibles son $20k+3$ y $20k+7$

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