¿Existe una explicación de alto concepto de por qué "simplicial" lleva a "homotopía-teórica"?

Question

Mi entendimiento (limitado) es que los métodos simpliciales tienden a usarse cuando se quiere algún tipo de teoría de homotopía no trivial -- por ejemplo, para obtener una estructura de modelo agradable, se usan conjuntos simpliciales y no sólo conjuntos simples; para hacer $\mathbb{A}^1$ -Para construir el complejo cotangente (que, si no me equivoco, es una construcción homotópica, es decir, un functor derivado de Quillen en la categoría de álgebras simpliciales), se utilizan anillos conmutativos simpliciales.

Pero, ¿por qué lo "simplicial" hace que todo funcione tan bien? Por ejemplo, un conjunto simplicial es un functor contravariante $\Delta \to \mathbf{Sets}$ para $\Delta$ la categoría simplex: ¿qué tiene de maravilloso $\Delta$ que permite que aparezca una estructura modelo (y que, además, es equivalente a los espacios topológicos de Quillen)?

Answer 1

Las categorías de conjuntos simpliciales y de objetos simpliciales funcionan muy bien, como ya se ha dicho. Más recientemente se ha producido un resurgimiento del uso de conjuntos cúbicos pero con la estructura adicional de conexiones derivadas de las estructuras monoides $\max,\min: I^2 \to I$ . El primer trabajo de Dan Kan era cúbico, pero luego se vio que los grupos cúbicos no eran complejos de Kan, y que había un grave problema con la realización de productos cartesianos. En 1996 A. Tonks demostró que los grupos cúbicos con conexiones son Kan y G. Maltsiniotis ha demostrado que los conjuntos cúbicos con conexiones forman una categoría de prueba en el sentido de Grothendieck.

Hay más información sobre los conjuntos cúbicos en mi respuesta a esta pregunta de mathoverflow En el libro Topología algebraica no abeliana y en este artículo reciente .

Hay muchas áreas que han sido bien trabajadas en el contexto simplicial pero no en el contexto cúbico (con conexión), por ejemplo, los grupos cúbicos. Por lo tanto, queda mucho trabajo de evaluación por hacer.