¿Existe una explicación de alto concepto de por qué "simplicial" lleva a "homotopía-teórica"?

Question

Mi entendimiento (limitado) es que los métodos simpliciales tienden a usarse cuando se quiere algún tipo de teoría de homotopía no trivial -- por ejemplo, para obtener una estructura de modelo agradable, se usan conjuntos simpliciales y no sólo conjuntos simples; para hacer $\mathbb{A}^1$ -Para construir el complejo cotangente (que, si no me equivoco, es una construcción homotópica, es decir, un functor derivado de Quillen en la categoría de álgebras simpliciales), se utilizan anillos conmutativos simpliciales.

Pero, ¿por qué lo "simplicial" hace que todo funcione tan bien? Por ejemplo, un conjunto simplicial es un functor contravariante $\Delta \to \mathbf{Sets}$ para $\Delta$ la categoría simplex: ¿qué tiene de maravilloso $\Delta$ que permite que aparezca una estructura modelo (y que, además, es equivalente a los espacios topológicos de Quillen)?

Answer 1

No creo que tenga una respuesta contundente a esta pregunta, pero tal vez algunos fragmentos que sean útiles. Un punto es que todos los ejemplos que traes a colación están relacionados con el primero: los conjuntos simpliciales pueden usarse como modelo para la teoría de homotopía de espacios. Prácticamente cualquier teoría de homotopía puede ser "descrita" en términos de la teoría de homotopía de espacios, al igual que cualquier categoría puede ser "descrita" en términos de la categoría de conjuntos (a través de la incrustación de Yoneda, por ejemplo). Así que si se ha decidido que "espacio" significa conjunto simplicial, entonces es bastante natural empezar a pensar en pretramas de conjuntos simpliciales cuando se quiere pensar en la teoría de homotopía de (pre)tramas de espacios, como en la teoría de homotopía motivacional.

Pero eso nos lleva a la pregunta "¿por qué utilizar los conjuntos simpliciales como modelo para la teoría de la homotopía de los espacios? Ciertamente no es el único modelo, y en las otras respuestas se han enumerado algunas alternativas. Otra alternativa es más clásica: la categoría de espacios topológicos puede utilizarse como modelo para la teoría de homotopía de espacios. Entonces, se podría preguntar, ¿por qué no desarrollar la teoría del complejo cotangente utilizando anillos conmutativos topológicos en lugar de anillos conmutativos simpliciales? No hay ninguna razón por la que no se pueda hacer esto; simplemente es menos conveniente que la alternativa.

Hay varias cosas que hacen que sea muy conveniente trabajar con conjuntos simpliciales.

1) La categoría de conjuntos simpliciales es muy sencilla: se describe mediante preseaves sobre una categoría con no demasiados objetos y no demasiados morfismos, por lo que los datos de un conjunto simplicial son razonablemente concretos y combinatorios. La categoría de los espacios topológicos (digamos) es más complicada en comparación, debido en parte a las patologías de la topología de conjuntos puntuales que no son realmente relevantes para el estudio de la teoría de la homotopía.

2) La categoría de los símiles está (op)-cribada. Esto está relacionado con la observación concreta de que la formación de realizaciones geométricas de conjuntos simpliciales (o espacios simpliciales) conmuta con productos finitos. En términos más generales, garantiza una buena conexión entre la teoría de la homotopía de los conjuntos simpliciales y la teoría de la homotopía de los conjuntos bisimpliciales, que suele ser muy útil.

3) La correspondencia Dold-Kan te dice que estudiar objetos simpliciales en una categoría abeliana es equivalente a estudiar complejos de cadena en esa categoría abeliana (satisfaciendo ciertas condiciones de acotación). Así que si ya estás convencido de que los complejos de cadena son una buena manera de hacer álgebra homológica, es un salto corto para decidir que los objetos simpliciales son una buena forma de hacer álgebra homológica en entornos no abelianos. Esto también indica que cuando se "abelianiza" una construcción simplicial, se obtiene un complejo en cadena (como en la historia del complejo cotangente: las diferenciales de Kahler aplicadas a un anillo conmutativo simplicial dan lugar a un complejo en cadena de grupos abelianos).

4) Los objetos simplificados surgen de forma muy natural en muchas situaciones. Por ejemplo, si U es una comónada en una categoría C (que surge, por ejemplo, de un par de funtores adyacentes), entonces al aplicar iterados de U a un objeto de C se obtiene un objeto simplicial de C. Este tipo de cosas surgen a menudo cuando se quieren estudiar las resoluciones. Por ejemplo, sea C la categoría de grupos abelianos, y sea U la comónada U(G) = grupo libre generado por los elementos de G (asociado a la adjunción {Grupos} <-> {Conjuntos} dada por el funtor de olvido, funtor libre). Entonces el objeto simplicial que acabo de mencionar es la resolución canónica de cualquier grupo por grupos libres. Dado que las "resoluciones" juegan un papel importante en la teoría de la homotopía, es conveniente trabajar con un modelo que juega muy bien con la combinatoria de la categoría de los simples. (Por ejemplo, si aplicamos el procedimiento anterior a un grupo simplicial, obtendríamos una resolución que fuera un grupo libre bisimplicial. Entonces podemos obtener un grupo libre simplicial pasando a la diagonal (lo cual es algo razonable en virtud de (2) ).

5) Los conjuntos simpliciales están relacionados con la teoría de categorías: la construcción del nervio da una incrustación totalmente fiel desde la categoría de categorías pequeñas a la categoría de conjuntos simpliciales. Supongamos que te interesa la teoría de las categorías superiores, y adoptas la posición de que "espacio" = "grupo superior" = "categoría superior en la que todos los morfismos son invertibles". Si decides que vas a modelar esta noción de "espacio" a través de los complejos de Kan, entonces trabajar con conjuntos simpliciales arbitrarios te da un escenario donde las categorías (a través de sus nervios) y los groupoides superiores (como complejos de Kan) se encuentran de forma natural. Esta observación es el punto de partida de la teoría de las cuasicategorías.

Todo lo que estos argumentos dicen realmente es que los objetos simpliciales son cosas agradables/convenientes para trabajar. No demuestran realmente que no pueda haber algo más bonito/conveniente. Para esto, yo sólo ofrecería un argumento sociológico. La definición de conjunto simplicial es bastante sencilla (véase (1)), y si hubiera una definición más sencilla que funcionara igual de bien, sospecho que ya la estaríamos utilizando.

Answer 2

Hay varias personas aquí mucho más cualificadas para hablar de eso, así que me limitaré a darte algunas indicaciones ahora. Una de las preguntas que Grothendieck trató de responder cuando escribió "Pursuing Stacks" fue -no sé cómo lo expresó- "¿cuáles son las propiedades de la categoría simplicial que la hacen tan útil en la teoría de la homotopía?" Ahí es donde la teoría de categorías de prueba proviene de. Como dice Georges Maltsiniotis: "El lema de Grothendieck es que toda categoría de prueba es tan "buena" como la de los conjuntos simples para "faire de l'homotopie". Lo que significa "El lema de Grothendieck es que cualquier categoría de prueba es tan "buena" como la categoría de conjuntos simpliciales para "hacer la teoría de la homotopía"". La teoría fue desarrollada posteriormente por Denis-Charles Cisinski. Los dos libros que hay que leer sobre este tema son:

La Théorie de l'homotopie de Grothendieck, de Maltsiniotis, cuya introducción está muy bien escrita:
http://www.math.jussieu.fr/~maltsin/ps/prstnew.pdf

y

La tesis de Cisinski (versión aumentada de la suya) "Presheaves as Models for Homotopy Types": http://www.math.univ-toulouse.fr/~dcisinsk/ast.pdf

Ambos están disponibles en la colección Astérisque de SMF.

Os daré más detalles si no aparece nadie más para explicar el yoga (yo mismo no tengo más que una pizca).

EDIT: Bueno, aquí hay algunos detalles. Usted pregunta: "¿Qué tiene de maravilloso Δ que permite que aparezca una estructura modelo (y una, además, equivalente a Quillen en los espacios topológicos)?" La respuesta más breve sería: " $\Delta$ es una categoría de prueba". Intentemos ver qué significa. (Me siento un poco culpable, porque lo que sigue es esencialmente una reformulación, con las mismas anotaciones, de algunas partes de la clarísima introducción de Maltsiniotis a su libro. Espero que al menos sirva para aquellos que no saben leer en francés. Hay que tener en cuenta que el libro de Maltsiniotis se basa en el material escrito por Grothendieck en "Pursuing Stacks" hace casi treinta años).

El punto de partida de la teoría de la categoría de prueba es similar a su pregunta. A saber, Grothendieck busca encontrar todo las parejas $(M, W)$ donde $M$ es una categoría y $W \subseteq Ar(M)$ tal que la categoría localizada $W^{-1}M$ sea equivalente a la categoría de homotopía $Hot$ y tal que $W$ es natural en algún sentido (con respecto a la estructura de la categoría subyacente). Dada la dificultad de responder a una pregunta tan general, Grothendieck exige entonces $M$ para ser una categoría presheaf en una categoría pequeña $A$ . Añadiendo otra pequeña condición en la categoría pequeña $A$ (que requiere que el "functor nervioso" $i_{A}^{*} : Cat \to \widehat{A}$ , $C \to (a \mapsto Hom_{Cat}(A/a, C))$ , envían equivalencias débiles a equivalencias débiles, donde las equivalencias débiles de $Cat$ son aquellos funtores cuyo nervio clásico son equivalencias débiles simpliciales, y las equivalencias débiles en la categoría de preseafes $\widehat{A}$ son aquellos morfismos enviados a equivalencias débiles de $Cat$ por el functor $A/?$ ), le lleva a definir la noción de categoría de prueba débil . Una de las propiedades de dicha categoría $A$ es que la localización de su categoría de preseaf por equivalencias débiles es equivalente a la categoría de homotopía $Hot$ . Por supuesto, la categoría simplicial es una categoría de prueba. Pero es incluso mejor que eso. Es una categoría de prueba estricta , lo que implica (por definición), por ejemplo, que el producto cartesiano refleja el producto de los tipos de homotopía. Esta teoría muestra, por cierto, que la categoría cúbica difiere de la categoría simplicial en este aspecto: en efecto, la categoría cúbica es no una categoría de prueba estricta (pero es una categoría de prueba, que por supuesto se encuentra en algún lugar entre ser una prueba débil y ser una prueba estricta). Se podría pensar que, dado que la categoría cúbica no es una categoría de prueba estricta, las categorías de prueba estricta deberían ser bastante escasas. De hecho, hay muchas. Por ejemplo, cada subcategoría completa de $Cat$ cuyos objetos son no vacíos, y que es estable bajo productos finitos, y uno de cuyos objetos tiene al menos dos objetos (posiblemente isomorfos) es una categoría de prueba estricta. Hay resultados que permiten comprobar que una categoría dada es una categoría de prueba (débil, local, estricta ), que no expondré aquí. Sólo un ejemplo: La categoría de Joyal $\Theta$ (relacionado con las cosas del infinito) es una categoría de prueba (esto fue demostrado por Cisinski/Maltsiniotis y Ara).

En realidad, hay más que eso en la teoría. Se puede preguntar cuáles son las propiedades formales de las equivalencias débiles de $Cat$ que hacen que la teoría funcione tan bien. Esto es lo que Grothendieck respondió definiendo localizadores básicos . De hecho, lo que necesitas es una clase $W$ de funtores entre categorías pequeñas tales que $W$ es débilmente saturado (lo que significa que contiene identidades, satisface un axioma de dos de tres, y si $i$ tiene una retracción tal que $ir$ está en $W$ entonces $i$ (y por lo tanto $r$ ) está en $W$ ) ; si $A$ es una categoría pequeña que tiene un objeto terminal, entonces $A \to e$ está en $W$ ( $e$ representa la categoría de puntos) ; y $W$ satisface la versión relativa del Teorema A de Quillen. Eso es todo lo que se necesita para desarrollar la teoría de las categorías de prueba. Grothendieck procede entonces a reescribir toda la teoría con respecto a un localizador básico arbitrario sustituyendo $\mathcal{W}_{\infty}$ las equivalencias débiles clásicas de $Cat$ Por lo tanto, para cada localizador básico $W$ Hay nociones de $W$ -Categoría de prueba débil, $W$ -Categoría de prueba local, $W$ -Categoría de prueba, $W$ -categoría de prueba estricta y así sucesivamente. Los tipos de homotopía truncada proporcionan instancias de localizadores básicos $\mathcal{W}_{n}$ por cada $n \geq 0$ pero hay muchos otros.

Y he aquí un teorema: para todo localizador básico $W$ para cada $W$ -categoría de prueba $A$ existe una estructura de categoría de modelos cerrada en la categoría de preformas en $A$ cuyas equivalencias débiles son las definidas anteriormente (de modo que, en particular, la categoría localizada es equivalente a la categoría localizada $W^{-1}Cat$ ) y cuyas cofibraciones son los monomorfismos. De hecho, hay que hacer una ligera suposición de teoría de conjuntos para que este resultado se mantenga (a saber, que el localizador básico es accesible , es decir, es el más pequeño que contiene algún set de flechas). Fue conjeturado por Grothendieck y demostrado por Cisinski.

Bien, ahora puede que todavía no esté claro cuáles son las ventajas de esta teoría. Una de ellas es que se puede trabajar con otros localizadores básicos que el clásico (el $W_{\infty}$ de arriba). Las equivalencias débiles clásicas están relacionadas con las equivalencias de Artin-Mazur en los topos de preseva, y éstas pueden ser sustituidas, por ejemplo, por cualquier otro morfismo de topos definido por propiedades cohomológicas. (Véase el primer párrafo de la página 12 del libro de Maltsiniotis, por ejemplo).

Hay muchas más cosas en la teoría de la homotopía de Grothendieck, pero me limitaré a eso ahora.

Por cierto, hace dos años, en el IHES, Maltsiniotis dio una charla muy agradable (en francés) sobre el trabajo de Grothendieck en los años 80:
http://www.dailymotion.com/video/x8jsnw_colloque-grothendieck-georges-malts_tech .

EDIT: Acabo de añadir algunos detalles y he pensado que podría elaborar dos puntos de la respuesta de Jacob Lurie también en el lenguaje de la teoría de la homotopía de Grothendieck (que por supuesto no pretendo que sea mejor). Cuando afirma que la (op)-siftedness de la categoría simplicial garantiza "una bonita conexión entre la teoría de homotopía de conjuntos simpliciales y la teoría de homotopía de conjuntos bisimpliciales", supongo que el resultado clave al que alude es el clásico "lema bisimplicial", que afirma que, si $f : X \to Y$ es un morfismo bisimplicial tal que $f_{n,.} : X_{n,.} \to Y_{n,.}$ es una equivalencia débil simplicial para cada $n \geq 0$ entonces $\delta^{\ast}(f):\delta^{\ast}X \to \delta^{\ast}Y$ es una equivalencia débil simplicial. Aquí, $\delta : \Delta \to \Delta \times \Delta$ representa el functor diagonal, y $\delta^{\ast}$ para el functor inducido que envía un conjunto bisimplicial $X$ al conjunto simplicial $n \mapsto X_{n,n}$ . Me gustaría señalar que un resultado similar es válido para cada categoría totalmente asférica es decir, una pequeña categoría $A$ tal que el functor $A \to e$ es una equivalencia débil (lo que significa que pertenece al localizador básico que estamos considerando) y tal que (una entre muchas propiedades equivalentes) el functor diagonal $A \to A \times A$ es asférica (lo que significa que para cada $(a_{1}, a_{2}) \in A \times A$ la categoría de la coma $\delta \downarrow (a_{1}, a_{2})$ es asférico). Para esta categoría $A$ , siempre que $f$ es un morfismo en la categoría de preformas $\widehat{A \times A}$ tal que $f_{a,.}$ es una equivalencia débil para todo $a \in A$ entonces $\delta^{\ast}f$ es una equivalencia débil (en la categoría de presheaves, ver arriba). La categoría simplicial $\Delta$ es $W_{\infty}$ -totalmente asférico, un hecho (no trivial) del que se puede deducir el "lema bisimplicial". El cribado tiene que ver con la $W_{0}$ -total de asfericidad, por lo que estaba desconcertado sobre cómo deducir el "lema bisimplicial" a partir de él (se necesita $W_{\infty}$ como localizador básico). Parece que Jacob Lurie está tomando tácitamente la $(\infty,1)$ -categórica, lo que hace que las dos propiedades sean equivalentes. (Gracias a Georges Maltsiniotis por señalármelo).

En cuanto a la correspondencia Dold-Kan, le pregunté a Maltsiniotis si un resultado similar es válido con otras categorías de prueba de Grothendieck, y la respuesta es que no hay tal resultado en general, pero ya hay una conjetura en "Pursuing Stacks" sobre una correspondencia análoga para cualquier categoría de prueba estricta.

No estoy seguro de que mucha gente quiera leer todo eso, pero pensé en compartir lo que sabía, ya que estas cosas no están escritas en ningún texto disponible actualmente.

Answer 3

Querido Akhil,

No soy un experto en métodos simpliciales ni mucho menos, pero pensé que podría ayudar a dar una respuesta a un nivel mucho más bajo que las otras respuestas y comentarios. Lo que vendrá sólo refleja mis propios intentos (¡algo escasos!) de entender algunas construcciones simpliciales. Mi punto de vista aquí será no principalmente para explicar por qué las construcciones simpliciales superan a las cúbicas u otras, sino sólo para dar algunos ejemplos de cómo se pueden utilizar y qué significan. (Además, esta respuesta no es de "alto concepto"; ¡más bien es de muy bajo concepto! Pero espero que siga siendo útil).

En primer lugar, puedes pensar en un conjunto simplicial como una gran bolsa de símiles con instrucciones sobre cómo pegarlos: tienes un conjunto de puntos, un conjunto de intervalos, un conjunto de $2$ -simples, etc., y los mapas de límites te indican cómo pegar. Si realmente los pegas según los mapas de límites, obtienes un espacio. Así que, a primera vista, es razonable pensar que los conjuntos simpliciales son sólo una mejora técnica de la idea bastante simple de los complejos simpliciales. Dado que los espacios razonables (desde el punto de vista de la topología algebraica, la geometría algebraica o las variedades suaves) pueden triangularse, no es tan sorprendente que se puedan captar muchas cosas sobre los espacios topológicos de esta manera.

Ahora supongamos que tienes algo un poco más sofisticado, como un esquema simplicial: ahora tienes un esquema de puntos, un esquema de 1-símbolos, etc.

Puedes pensar en el esquema de puntos como el esquema básico subyacente al esquema simplicial; llámalo $X_0$ . Ahora el esquema $X_1$ de $1$ -simples tiene mapas de límites al esquema de puntos. Así que se puede pensar en $X_1$ como una especie de correspondencia en $X_0$ . Para simplificar, imaginemos que los dos mapas de frontera en $X_0$ son incrustaciones cerradas, por lo que se tienen dos copias de $X_1$ sentado en el interior $X_0$ . El hecho de que este sea el esquema de $1$ -simplemente le dice que se supone que debe unir todos los puntos coincidentes en las dos copias de $X_1$ por 1-simplos, y que hay que pensar que estos 1-simplos varían continuamente a lo largo de las dos copias de $X_1$ . Ahora se pega una familia de 2-simples indexados por $X_2$ de la misma manera, etc.

Cómo surgen: pues un buen ejemplo (tomado de la obra de Deligne Hodge III papel) está dada considerando la resolución de las singularidades $\tilde{X}$ de una variedad proyectiva singular $X$ . Se puede hacer el esquema simplicial $X_n:= \tilde{X}\times_X \cdots \times_X \tilde{X}$ ( $n+1$ copias) con mapas de frontera dados por proyecciones y degeneraciones dadas por diagonales parciales. (Nota al margen: Esta construcción muestra una ventaja de las construcciones simpliciales sobre varias alternativas, a saber, que se pueden producir objetos simpliciales simplemente tomando productos iterados; esto proporciona un puente muy conveniente entre la práctica y la teoría, que bien podría ser más difícil en otros modelos --- digamos cúbicos).

En particular $X_0$ es sólo $\tilde{X}$ por lo que este esquema simplicial es $\tilde{X}$ con un puñado de simplices adjuntos. Si piensas en cómo se adjuntan, verás que el $1$ -simplemente une todos los puntos que se encuentran en una misma fibra bajo la proyección $\tilde{X} \to X$ . Y entonces cada triángulo formado por $1$ -simples límites a $2$ -simplemente, y así sucesivamente.

Así que este esquema simplificado es un modelo para $X$ en el que los esquemas de parametrización son suaves (edición: como señala Bhargav en un comentario más abajo, para obtener realmente esquemas suaves más allá de $X_0$ (normalmente hay que hacer más, pero permítanme suprimir esto aquí), pero se ha pegado en $1$ -símbolos que explican cómo deben identificarse los puntos para volver a bajar a $\tilde{X}$ (y los símbolos superiores se añaden sólo para asegurar que no se crea una estructura topológica adicional por el $1$ -simples que has pegado).

Esto indica que trabajando de forma simplificada, se tiene flexibilidad para hacer ciertas construcciones, por ejemplo, en lugar de formar un cociente directamente (como realmente pasando de $\tilde{X}$ a $X$ ), podemos en cambio formar el cociente pegando caminos entre los puntos que han de ser identificados (y añadiendo luego símiles de orden superior según sea necesario para acabar con los bucles, etc., que se introducen accidentalmente en el proceso de añadir estos caminos).

Por supuesto, se puede ir más allá para hacer construcciones que no serían posibles en el mundo no simplificado. Por ejemplo, supongamos que se quiere definir la cohomología etale relativa $H^i(X,Y; \mathbb Q_{\ell})$ para un subesquema cerrado $Y$ de $X$ . Topológicamente, esto es la misma que la cohomología (reducida) del espacio obtenido de $X$ al colapsar $Y$ hasta cierto punto. Normalmente no se puede hacer esto en el mundo de los esquemas, pero se puede hacer de forma sencilla, utilizando alguna variante de la construcción descrita anteriormente.

Así que, para obtener una respuesta a la pregunta "¿por qué "simplicial" hace que todo funcione tan bien?", te sugeriría que no sólo pienses en el formalismo (categorías de modelos y demás), sino que también juegues con varias construcciones del tipo que he descrito, y otras relacionadas (por ejemplo, las construcciones de $BG$ y $EG$ para un grupo algebraico como esquemas simpliciales), y tratar de imaginarlos físicamente como esquemas con símiles pegados. Intenta pensar en otras construcciones de la topología y ver si puedes imaginar cómo las harías en el mundo de los esquemas utilizando esquemas simpliciales. Por supuesto, tus construcciones explícitas coincidirán con el formalismo general, pero también deberían ayudar a iluminarlo, y a proporcionar intuición.

Answer 4

La categoría de modelos de conjuntos simpliciales valorados en alguna categoría C, con la estructura del modelo proyectivo, tiene una propiedad universal: Es la categoría modelo inicial que recibe un funtor de C (a saber, la incrustación de Yoneda seguida del funtor de preseaf simplicial discreto). Es decir, para cualquier functor de C a una categoría modelo existe una adjunción de Quillen desde los preámbulos simpliciales de C a esa categoría modelo "haciendo que el triángulo conmute".

Se puede pensar en esto por analogía con la incrustación de Yoneda, que convierte a los preacuerdos sobre C en la categoría inicial cocompleta (cada functor es un colim de representables). Del mismo modo, los presheaves valorados por conjuntos simpliciales pueden verse como la categoría inicial hocompleta (cada objeto es un hocolim de representables). Nótese que esto, a diferencia del primer párrafo, es una afirmación no sobre la categoría modelo, sino sobre la teoría de la homotopía que representa, lo que quizá se acerque más a lo que te estás preguntando. Los pretratamientos con valor de conjunto simplicial con la estructura de modelo inyectiva, o los pretratamientos con valor de conjunto cúbico, tendrían la misma propiedad, pero no la más estricta del primer párrafo.

Este es un resultado del artículo de Dugger "Universal homotopy theories", ver su página web Y ya que estás allí, echa un vistazo a su artículo expositivo "Sheaves and Homotopy Theory".

Resumiendo: Siempre que se quiera "hacer homotopía" en alguna categoría C, un buen primer paso es incrustarla en presheaves simpliciales, y luego localizar la estructura del modelo según las equivalencias débiles que se quieran introducir en C. Esto es exactamente lo que ocurre en $A^1$ -teoría de la homotopía, por ejemplo. Para ilustrar la diferencia entre las propiedades universales enunciadas en el primer y en el segundo párrafo: Morel/Voevodsky utilizan la estructura del modelo inyectivo para empezar, y luego localizan por la $A^1$ -equivalencias. Esto está bien, ya que las estructuras de modelo inyectivo y proyectivo son equivalentes en Quillen y, por tanto, representan la misma teoría de homotopía, por lo que realmente comienzan con la teoría de homotopía inicial que contiene esquemas. Una ventaja de tomar la estructura del modelo proyectivo en su lugar (que también es perfectamente posible) sería que se obtienen adjuntos de Quillen inducidos fácilmente. Por ejemplo, el functor "puntos complejos" de los esquemas a los espacios topológicos induce una adjunción de Quillen a partir de pretramas simpliciales con el $A^1$ -estructura modelo a la categoría modelo de los espacios topológicos que es interesante estudiar; pasando a las categorías de homotopía permite asociar a un $A^1$ -un tipo de homotopía topológica. Algunos teoremas de la teoría de homotopía habitual pueden recuperarse a partir de su $A^1$ -analoga de esta manera.

Answer 5

Esto no es una gran respuesta, pero podría ayudar. La categoría de conjuntos simpliciales debe considerarse como la cocompleción libre de $\Delta$ . En otras palabras, es lo que se obtiene si se toman libremente colímites de los símiles, y como tomar colímites es la forma más general de pegar, es precisamente el escenario más general para pegar símiles de forma abstracta.

La naturaleza esencialmente geométrica de esta construcción es quizás más clara si se restringe primero a la subcategoría de $\Delta$ en los primeros objetos. Por ejemplo, en los dos primeros objetos se obtiene la categoría de gráficos.

De todos modos, esto implica inmediatamente la existencia de una realización geométrica $\text{sSet} \to \text{Top}$ que viene dado por la interpretación de un colímite abstracto de símiles como un colímite topológico de (realizaciones geométricas de) símiles. Si se sabe que todo espacio topológico es equivalente en homotopía débil a un complejo CW, tal vez la idea de relacionar las dos categorías por realización geométrica no sea tan extraña.

Editar: También puede tener la impresión de que $\Delta$ es de alguna manera única con respecto a esta propiedad, lo cual no es cierto; véase el artículo de nLab forma geométrica para estructuras superiores . Los métodos simpliciales y la homotopía están estrechamente relacionados con las categorías superiores a través de la hipótesis de homotopía y hay varias formas relacionadas de abordarlo; la estructura de la categoría del modelo es sólo una sombra de la estructura de categoría superior .

Edición #2: Debo mencionar que hay un sentido en el que $\Delta$ es especial. Para obtener una categoría de prueba de los símiles te gustaría ser capaz de tomar productos de cosas de baja dimensión para obtener cosas de mayor dimensión, pero también te gustaría ser capaz de proyectar desde las altas dimensiones a las bajas dimensiones La forma más perezosa de hacer esto es la universal, a saber: tomar la categoría monoidal libre en un monoide. (Edición:) Esto te da la aumentada categoría simplicial, que es la categoría de todos los ordinales finitos y de los mapas que conservan el ordinal, y por razones que no entiendo del todo eliminamos el ordinal vacío para obtener $\Delta$ . Si esto es directamente responsable del éxito de $\Delta$ en la teoría de la homotopía no puedo decirlo.