Intento: Esperaba que alguien pudiera ayudarme a averiguar si existe un homomorfismo para los 4 casos siguientes. He conseguido resolver los anteriores, pero estos están resultando bastante complicados, gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Anurag A
Puntos
11751
Una pista:
Los núcleos son subgrupos normales.
Para $O(3)$ Los determinantes son una forma natural de pensar.
En $S_3$ los únicos subgrupos normales son $\{e\}, S_3, \{(1\, 2 \, 3)\}$ . Por lo tanto, los núcleos sólo pueden estar entre estos. Como se puede ver no hay subgrupos normales de orden $2$ por lo que no se puede tener un homomorfismo de $S_3$ con núcleo de orden $2$ .
Utiliza esta línea de pensamiento para otras piezas y, con suerte, podrás hacerlo tú mismo.
Para la primera, el determinante es el homomorfismo necesario. El segundo envía un ciclo a su signo. El tercero es el mapa cociente de $O(3)$ al cociente de $O(3)$ por su centro $\{\pm I\}$ . Para el cuarto, no hay ninguno, porque el núcleo de un homomorfismo es un subgrupo normal del dominio, pero $S_3$ no tiene subgrupos de orden $2$ .
