Mostrar que cualquiera de los dos enteros impares consecutivos son relativamente primos

Question

He seleccionado dos enteros $m=2k+1$$n=2k+3$, y he intentado hacer una combinación lineal de las dos que es igual a 1, pero estoy atascado y no estoy seguro si esto es un callejón sin salida o no. Alguna sugerencia o ideas alternativas?

Answer 1

Si $d|2k+1$$d|2k+3$,$d|2k+3-(2k+1)=2$. Por lo tanto $d=1$ o $d=2$. Pero $d\neq 2$, ya que el $d$ es un divisor de un número impar. A continuación,$d=1$. Es decir, el único divisor común de a $2k+1$ $2k+3$ es 1.

Answer 2

Si usted realmente quiere expresar $1$ como una combinación lineal de $2k+1$$2k+3$, ten en cuenta que $$(2k+3)(k+1)-(2k+1)(k+2)=1.$$

Answer 3

Si usted sabe sobre el algoritmo de Euclides, se puede ver que $\gcd(2k+3, 2k+1) = \gcd(2k+1, 2) = \gcd(2, 1) = 1$.

Como para hacer una combinación lineal: trate de pequeños valores de$k$, en lugar de sumergirse en el caso general: Por ejemplo, con $k = 1, 2, 3$:

$2 \times 5 - 3 \times 3 = 1$

$3 \times 7 - 4 \times 5 = 1$

$4 \times 9 - 5 \times 7 = 1$

Se puede extender este?

Answer 4

Creo que la respuesta es la más "sencilla", pero aquí es que la misma idea de una manera ligeramente diferente perspectiva:

Si se piensa en el consecutivo de probabilidades como compartir un factor de $a > 1$, entonces ¿qué podría ser? Ciertamente,$a \neq 2$, ya que estamos tratando con odds. Entonces necesitaríamos $a \geq 3$, lo cual es absurdo:

Cómo podría números de $2$ aparte de compartir un factor de $\geq 3$?

Answer 5

Si desea escribir $1$ como una combinación lineal de $2k+1$$2k+3$, nota

$$(2k+3) - (2k+1) = 2$$

y

$$(2k+1)\cdot 1 - 2\cdot k = 1$$

así

$$ (2k+1) \cdot 1 - (2k+3)\cdot k + (2k+1)\cdot k = 1$$

No hay magia aquí... si puede expresar $s$ como una combinación lineal de $x$$y$, y si se puede expresar $t$ como una combinación lineal de $x$$y$, entonces se puede expresar $s+t$, $-2s + 3t$, etc. como una combinación lineal de $x$$y$. Así que una vez que usted consiga $2$ y un número impar, ya está hecho.