¿Cuándo se convertirá la multiplicación de matrices en una simple "concatenación"?

Question

A continuación, vimos entretenidos ejemplos de multiplicación de matrices.

Obviamente son sólo coincidencias. Pero tengo curiosidad por saber cuándo se mantiene lo de abajo.

\begin{equation} \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} | tiempos \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \overline{a_1 a_2} & \overline{b_1 b_2} \\ \overline{c_1 c_2} & \overline{d_1 d_2} \end{pmatrix} \end{equation}

aquí $\overline{a_1 a_2}$ significa pegar los enteros, no las multiplicaciones asumiendo que estamos trabajando con matrices enteras.

Answer 1

Dejemos que $A$ denota la primera matriz del producto, y sea $B$ denotan la segunda. Consideraré sólo el caso en que las entradas de $B$ tienen un dígito.

En este caso, la propiedad de "encolado" de esta multiplicación matricial puede escribirse como $$ AB = 10A + B. $$ Obsérvese que esta ecuación puede reordenarse en $$ AB - 10 A - B + 10I = 10I \implies\\ (A - I)(B - 10 I)= 10 I, $$ donde $I$ denota la matriz de identidad. Ahora, supongamos que seleccionamos una matriz $B$ y queremos una matriz correspondiente $A$ . Tenemos $$ (A - I)(B - 10 I) = 10 I \implies\\ A = 10(B - 10 I)^{-1} + I. $$ Obsérvese que esta ecuación sólo tiene solución si $\det(B - 10 I) \neq 0$ . Ahora bien, queda una pregunta: ¿cómo garantizar que $10 (B - 10 I)^{-1}$ es una matriz entera? Resulta que esto se cumple para una matriz entera dada $B$ si y sólo si el determinante de $B - 10 I$ divide $10$ .

De hecho, podemos generar pares de matrices con entradas enteras no negativas que tengan la propiedad de encolado mediante los siguientes pasos:

• Encontrar una matriz $C$ cuyas entradas diagonales satisfacen $-10 \leq c_{ii} \leq -1$ y cuyas entradas fuera del diagonal son un número positivo de un solo dígito tal que el determinante de $C$ es $-1$ , $-2$ , $-5$ o $-10$ .
• Tome $B = 10 I + C$ y $A = 10C^{-1} + I$ .

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Por ejemplo, la matriz $$ C = \pmatrix{-4 & 3\\7 &-4} $$ tiene un determinante $16 - 21 = -5$ que divide $10$ . La matriz correspondiente $B$ es $$ B = 10 I + \pmatrix{-4 & 3\\7 &-4} = \pmatrix{6&3\\7&6}. $$ La matriz asociada $A$ es $$ 10C^{-1} + I = \frac{10}{-5} \cdot \pmatrix{-4 & -3\\-7 & -4} + \pmatrix{1&0\\0&1} = \pmatrix{9 & 6\\14 & 9}. $$ Si calculamos el producto, efectivamente encontramos que $$ \pmatrix{\color{blue}{9} & \color{blue}{6}\\ \color{blue}{14} & \color{blue}{9}} \cdot \pmatrix{\color{green}{6} & \color{green}{3}\\ \color{green}{7} & \color{green}{6}} = \pmatrix{\color{blue}{9}\color{green}{6} & \color{blue}{6}\color{green}{3}\\ \color{blue}{14}\color{green}{7} & \color{blue}{9}\color{green}{6}}. $$

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Un fenómeno interesante: si $B$ es una matriz de un solo dígito para la que existe un $A,B$ con esta propiedad de "pegado", tendremos $A = B$ si y sólo si $B$ es una "matriz vampiro" (véase mi comentario sobre la cuestión), que se mantiene si y sólo si $B$ tiene valores propios $0,11$ que se cumple si y sólo si $C = B - 10 I$ tiene valores propios $-10,1$ que se cumple si y sólo si $C$ tiene un determinante $-10$ y rastrear $-9$ .

Answer 2

Llama a las dos matrices (en azul y en verde respectivamente) $A$ y $B$ . Suponiendo, para simplificar, que queremos $B$ para que conste de un solo dígito, podemos escribir la propiedad que buscamos como una ecuación matricial: $AB = 10A + B$ .

Moviendo todo a un lado, podemos añadir un cuarto término para facilitar la factorización: $AB - 10A - B + 10I = 10I$ . Esto se puede escribir como $(A - I)(B - 10I) = 10 I$ . Por lo tanto, en términos de $B$ tenemos $$A = 10(B - 10 I)^{-1} + I.$$ Esto nos da una fórmula para $A$ no importa cuál $B$ elegimos, aunque fuera de $10^4$ posibilidades de $B$ Mi ordenador sólo encontró $429$ para lo cual $A$ consiste en enteros no negativos.

Answer 3

Su pregunta es muy interesante.

Así que, vamos a calcular: primero, cómo podemos escribir $\overline{a_1a_2}$ ? De hecho, $a_1$ y $a_2$ son simplemente, como has dicho, "pegados". Así que, simplemente tenemos $\overline{a_1a_2} = 10a_1+a_2$ .

Ahora, reescribamos su ecuación utilizando este resultado:

$$\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \overline{a_1 a_2} & \overline{b_1 b_2} \\ \overline{c_1 c_2} & \overline{d_1 d_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10a_1+a_2 & 10b_1+b_2 \\ 10c_1+c_2 & 10d_1+d_2 \end{pmatrix}$$

Ahora, vamos a nombrar esta "ecuación" $(E)$ siendo cada número un entero. Entonces, calculando el producto, tenemos $$(E) \iff \begin{pmatrix} a_1a_2 + b_1c_2 & a_1b_2 + b_1d_2\\ c_1a_2 + d_1c_2 & c_1b_2 + d_1d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10a_1+a_2 & 10b_1+b_2 \\ 10c_1+c_2 & 10d_1+d_2 \end{pmatrix}$$

Finalmente, podemos identificar los coeficientes y obtener un sistema de ecuaciones: $$\boxed{(E) \iff \begin{cases} a_1a_2+b_1c_2 = 10a_1+a_2\\ c_1a_2+d_1c_2 = 10c_1+c_2 \\ a_1b_2+b_1d_2 = 10b_1+b_2\\ c_1b_2 + d_1d_2 = 10d_1+d_2 \end{cases}}$$

Ahora que tenemos este sistema, puedes notar que sólo hay 4 ecuaciones para un total de 8 incógnitas. Así que habrá que fijar 4 de ellas, y luego te darán las otras 4. ¡Ahora te toca encontrar "grupos" de enteros que funcionen!