Landau-Lifshitz se salta un paso en las oscilaciones anarmónicas

Question

En el capítulo 28 de Landau-Lifshitz Mecánica clásica libro de texto tratan de explicar cómo obtener el movimiento de una partícula con el Lagrangiano:

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}m w_{0}^{2}x^{2}-\frac{1}{3}m\alpha x^{3}-\frac{1}{4}m\beta x^{4}$

utilizando aproximaciones sucesivas para resolver la ecuación de movimiento:

$\ddot{x}+w_{0}^{2}x=-\alpha x^{2}-\beta x^{3}$

Según nos explicó mi profesor, el método de aproximaciones sucesivas consiste en suponer una solución:

$x=x^{(1)}+x^{(2)}+x^{(3)}+...$

donde

$\ddot{x^{(1)}}+w_{0}^{2}x^{(1)}=0$

$\ddot{x^{(2)}}+w_{0}^{2}x^{(2)}=\alpha (x^{(1)})^{2}-\beta (x^{(1)})^{3} $

$\ddot{x^{(3)}}+w_{0}^{2}x^{(3)}=\alpha (x^{(2)})^{2}-\beta (x^{(2)})^{3} $

y así sucesivamente...

Si definimos $x^{(1)}=a\cos(wt)$ donde $w=w_{0}+w^{(1)}+w^{(2)}+w^{(3)}+...$

sustituyendo a $x^{(1)}$ para conseguir $x^{(2)}$ No entiendo lo que consigue Landau:

$\ddot{x^{(2)}}+w_{0}^{2}x^{(2)}=-\alpha a^{2}\cos(wt)^{2}+2w_{0}w^{(1)}a\cos(wt)$

donde es fácil ver que debemos establecer $w^{(1)}=0$ para evitar la resonancia.

Pero el texto no desarrolla el cálculo.

¿Es correcta la forma en que veo el método de aproximaciones sucesivas descrito por Landau? ¿Cómo puedo llegar a ese resultado? Gracias.

Answer 1

Dado $$\ddot{x} + \omega_0^2 x = - \alpha x^2 - \beta x^3,$$ una solución en serie de la forma $$ x = x_1 + x_2 + x_3 + ...$$ donde $x_r$ es de orden $r$ implica $$(\ddot{x}_1 + \ddot{x}_2 + ..) + \omega_0^2 (x_1 + x_2 + ..) = - \alpha (x_1 + x_2 + ..)^2 - \beta (x_1 + x_2 + ..)^3$$ y así expandir y equiparar términos de orden $r$ uno va a encontrar ecuaciones con términos cruzados como $\ddot{x}_3 + \omega_0^3 x_3 = - \beta x_1^3 - 2 \alpha x_1 x_2$ que su lista de aproximaciones no tiene en cuenta.

Para resolver la ecuación, escríbala en la forma $$\omega_0^2 x = - \alpha x^2 - \beta x^3 - \ddot{x}$$ y luego añadir $\frac{\omega_0^2}{\omega^2} \ddot{x} $ a ambos lados $$\frac{\omega_0^2}{\omega^2} \ddot{x} + \omega_0^2 x = - \alpha x^2 - \beta x^3 + (\frac{\omega_0^2}{\omega^2} - 1) \ddot{x}$$ y luego establecer $\omega = \omega_0 + \omega_1$ con $\omega_1$ de primer orden de pequeñez, y $$x = x_1 + x_2 = a \cos (\omega t) + x_2 = a \cos [(\omega_0 + \omega_1) t] + x_2,$$ con $x_1$ y $x_2$ de primer y segundo orden de pequeñez respectivamente (nota $x_1 x_2 = 0$ , $\omega_1 x_2 = 0$ y $\omega_1^2 x_1 = 0$ por lo que se mantiene si despreciamos todos los términos por encima del segundo orden de pequeñez), por lo que $$ \ddot{x} = - a (\omega_0 + \omega_1)^2 \cos[(\omega_0 + \omega_1) t] + \ddot{x}_2 = - (\omega_0 + \omega_1)^2 x_1 + \ddot{x}_2 .$$ El lado izquierdo es \begin{align} \frac{\omega_0^2}{\omega^2} \ddot{x} + \omega_0^2 x &= \frac{\omega_0^2}{\omega^2} [- (\omega_0 + \omega_1)^2 x_1 + \ddot{x}_2] + \omega_0^2 (x_1 + x_2) \\ &= \omega_0^2 x_2 + \frac{\omega_0^2}{\omega^2} \ddot{x}_2 + \omega_0^2 x_1 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2} (\omega_0 + \omega_1)^2 x_1 \end{align} mientras que el lado derecho es \begin{align} - \alpha x^2 - \beta x^3 + (\frac{\omega_0^2}{\omega^2} - 1) \ddot{x} &= - \alpha (x_1 + x_2)^2 - \beta (x_1 + x_2)^3 + (\frac{\omega_0^2}{\omega^2} - 1) [- (\omega_0 + \omega_1)^2 x_1 + \ddot{x}_2] \\ &= - \alpha (x_1^2 + 0) - \beta \cdot 0 + \frac{\omega_0^2}{\omega^2} [- (\omega_0 + \omega_1)^2 x_1 + \ddot{x}_2] - [ - (\omega_0 + \omega_1)^2 x_1 + \ddot{x}_2] \\ &= - \alpha x_1^2 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2} (\omega_0 + \omega_1)^2 x_1 + \frac{\omega_0^2}{\omega^2} \ddot{x}_2 + (\omega_0 + \omega_1)^2 x_1 - \ddot{x}_2 \end{align} Igualando ambos lados y resolviendo para $\ddot{x}_2 + \omega_0^2 x_2$ esto se convierte en \begin{align} \ddot{x}_2 + \omega_0^2 x_2 &= - \{ + \frac{\omega_0^2}{\omega^2} \ddot{x}_2 + \omega_0^2 x_1 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2} (\omega_0 + \omega_1)^2 x_1 \} \\ & \ \ \ \ \ + \{ - \alpha x_1^2 - \frac{\omega_0^2}{\omega^2} (\omega_0 + \omega_1)^2 x_1 + \frac{\omega_0^2}{\omega^2} \ddot{x}_2 + (\omega_0 + \omega_1)^2 x_1 \} \\ &= - \{ + \frac{\omega_0^2}{\omega^2} \ddot{x}_2 + \omega_0^2 x_1 \} + \{ - \alpha x_1^2 + \frac{\omega_0^2}{\omega^2} \ddot{x}_2 + (\omega_0^2 + 2 \omega_0 \omega_1 + \omega_1^2) x_1 \} \\ &= - \{ + \omega_0^2 x_1 \} + \{ - \alpha x_1^2 + (\omega_0^2 + 2 \omega_0 \omega_1 + \omega_1^2) x_1 \} \\ &= + \{ - \alpha x_1^2 + (+ 2 \omega_0 \omega_1 + \omega_1^2) x_1 \} \\ &= + \{ - \alpha x_1^2 + (+ 2 \omega_0 \omega_1) x_1 \} \\ &= - \alpha x_1^2 + 2 \omega_0 \omega_1 x_1 \\ &= - \alpha a^2 \cos^2(\omega t) + 2 \omega_0 \omega_1 a \cos (\omega t) \end{align}