La métrica de Taub y el campo gravitatorio de una pared infinita

Question

Según este documento El sólo La solución en el vacío de la ecuación de campo de Einstein, que es estática y simétrica al plano, es la métrica de Taub, dada por

$$ ds^2 = z^{-2/3} dt^2 - dz^2 - z^{4/3}(dx^2 + dy^2)$$

con una singularidad de curvatura en $z=0$ (donde $0 < z < +\infty$ ). Según el documento, esta métrica tiene la peculiar propiedad de que los objetos son repelido de la singularidad, y por eso escriben que

... la solución debe interpretarse como la representación de el campo gravitatorio exterior debido a un negativo distribución de la masa

Por otro lado encontré esto página web que discute el campo gravitacional de una "pared" infinita, y al requerir simetría plana llegan a la siguiente métrica (donde cambio el etiquetado de las coordenadas para que coincida con el papel) :

$$ ds^2 = z^{4/3} dt^2 - z^{-2} dz^2 - z^{2/3}(dx^2 + dy^2)$$

[ Editar : Aparentemente esta métrica hace no satisfacer las ecuaciones de vacío (ver comentarios) , no estoy seguro de si es sólo un error tipográfico en la página web o algún otro error]

Se dice que esto satisface las ecuaciones del vacío y da la misma aceleración propia desde el reposo para todas las posiciones, como en el caso newtoniano (pero no me queda claro si en estas coordenadas la singularidad está en $z=0$ o $z=\infty$ )

Ahora bien, si la métrica de Taub es la única métrica del vacío con simetría plana posible, y representa una distribución de materia no física (masa/presión negativa), ¿qué pasaría si construyéramos una pared muy grande, hecha de materia ordinaria? seguramente si nos acercamos lo suficiente a la pared debería haber una simetría plana aproximada. ¿Cómo se puede conciliar esto con la no-física de la métrica de Taub?

Answer 1

Sigo la documentación de la web

I) Ansatz métrico

$$\mathbf G= \left[ \begin {array}{cccc} -{{\rm e}^{2\,u \left( x \right) }}&0&0&0 \\ 0&{{\rm e}^{2\,v \left( x \right) }}&0&0 \\ 0&0&{{\rm e}^{2\,w \left( x \right) }}&0 \\ 0&0&0&{{\rm e}^{2\,w \left( x \right) }} \end {array} \right] $$

II) Tensor de Ricci $~\mathbf{RC}~$

$$RC_{1,1}={\frac {d^{2}}{d{x}^{2}}}u \left( x \right) + \left( {\frac {d}{dx}}u \left( x \right) \right) ^{2}- \left( {\frac {d}{dx}}u \left( x \right) \right) {\frac {d}{dx}}v \left( x \right) +2\, \left( { \frac {d}{dx}}u \left( x \right) \right) {\frac {d}{dx}}w \left( x \right) =0\tag 1$$

$$ RC_{2,2}=\left( {\frac {d}{dx}}u \left( x \right) \right) {\frac {d}{dx}}w \left( x \right) +{\frac {d^{2}}{d{x}^{2}}}w \left( x \right) +2\, \left( {\frac {d}{dx}}w \left( x \right) \right) ^{2}- \left( { \frac {d}{dx}}v \left( x \right) \right) {\frac {d}{dx}}w \left( x \right) =0\tag 2$$

$$RC_{3,3}={\frac {d^{2}}{d{x}^{2}}}u \left( x \right) + \left( {\frac {d}{dx}}u \left( x \right) \right) ^{2}- \left( {\frac {d}{dx}}u \left( x \right) \right) {\frac {d}{dx}}v \left( x \right) +2\,{\frac {d^{2}} {d{x}^{2}}}w \left( x \right) +2\, \left( {\frac {d}{dx}}w \left( x \right) \right) ^{2}-2\, \left( {\frac {d}{dx}}v \left( x \right) \right) {\frac {d}{dx}}w \left( x \right) =0\tag 3$$

ahora si se sustituye la función que el autor obtiene

$$u(x)=\frac 23\,\ln(x)~,v(x)=-\ln(x)~,w(x)=\frac 13\,\ln(x)$$

se obtiene que el tensor de Ricci es igual a cero, por lo que esas soluciones son erróneas

$$\mathbf{RC}= \left[ \begin {array}{cccc} -{\frac {8}{9}}\,{x}^{4/3}&0&0&0 \\ 0&2/3\,{x}^{-2}&0&0\\ 0&0&4/9\, {x}^{2/3}&0\\ 0&0&0&4/9\,{x}^{2/3}\end {array} \right] \ne \mathbf 0$$

III la solución

resolviendo las ecuaciones (1),(2) y (3) se obtiene

$$u(x)=\text{arbitrary}\\ v(x)=-3\,u(x)+ln(u'(x))\\ w(x)=-2\,u(x)$$

con

$$u(x)=\frac 13\ln(-3x)\\ v(x)=\ln(-x)+\ln(-x^{-1})\\ w(x)=-2\,u(x)$$

la nueva métrica es ahora $$ds^2=-(3x)^{-2/3}\,dt^2+dx^2+(3x)^{4/3}(dy^2+dz^2)$$

¡¡se obtiene una métrica que tiene la misma estructura que la métrica de Taub!!

$$ ds^2 = -x^{-2/3} dt^2 + dx^2 +x^{4/3}(dy^2 + dz^2)$$