Cómo probar $\int_0^1x\ln^2(1+x)\ln(\frac{x^2}{1+x})\frac{dx}{1+x^2}$

Question

Cómo probar <span class="math-container">$$\int_0^1x\ln^2(1+x)\ln\left(\frac{x^2}{1+x}\right)\frac{dx}{1+x^2}=-\frac{7}{32}\cdot\zeta{(3)}\ln2+\frac{3\pi^2}{128}\cdot\ln^22-\frac{1}{64}\cdot\ln^42-\frac{13\pi^4}{46080}$$</span> La sustitución <span class="math-container">$$x=\frac{1-y}{1+y}$$</span> lleva a calcular las integrales que se desconocen: <span class="math-container">$$\int_0^1y\ln(1-y)\ln^2(1+y)\frac{dy}{1+y^2}, \int_0^1\frac{y\ln^3(1+y)}{1+y^2}dy$$</span> Por el momento, no veo cómo calcular esta integral.