Demostrar que $\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i)$ .

Question

Demuestra que $\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i)$ .

He caído en este agujero donde sigo encontrando que

$$\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n \bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$$

Esto parece cierto, pero sé que me estoy perdiendo algo, ya que esto implica que la covarianza es siempre cero, lo que obviamente no es cierto.

Answer 1

Para el primer par:

$\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})y_i-\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})\overline{y}$ . Desde $\overline{y}$ es constante, podemos sacarlo del signo de la suma, y como has comentado, $\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})=0$

Answer 2

$$\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)(y_i-\overline y)=\sum_{i=1}^n x_iy_i-\overline y\sum_{i=1}^n x_i-\overline x\sum_{i=1}^ny_i+\overline x\overline y\sum_{i=1}^n1=$$

$$=\sum_{i=1}^n x_iy_i-n\overline y\overline x-\color{red}{n\overline x\overline y}+\color{red}{n\overline x\overline y}=\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)y_i$$