sobre alguna caracterización de la función no medible.

Question

Sabemos que un conjunto E es medible si y sólo si las funciones características de E son funciones medibles. Así que si N es un conjunto no medible, entonces la función característica de N es una función no medible. Mi pregunta es: ¿son todas las funciones no medibles? ( si, sumando o por otra operación algebraica de alguna función bonita con esta función característica da también función no medible. Lo que pregunto es si podemos obtener una función no medible sin este tipo de características fns)

Answer 1

¿Qué te parece esto?

Dejemos que $S$ sea un subconjunto no medible de $(0,+\infty)$ .

$$f(x)=\begin{cases} x, \, x\in S\\-x, \, x\notin S\end{cases}$$

Pero fíjese que $\{x : f(x) \ge 0\}=S \sqcup (-\infty,0]$ que no es un conjunto medible. Por lo tanto, $f$ no es medible.