Teorema de la representación de Riesz en el espacio de Hilbert con normas equivalentes

Question

Si tenemos un espacio de Hilbert que tiene dos normas (y productos internos) equivalentes, ¿los mapas de Riesz (del teorema de representación de Riesz) asociados a cada producto interno son iguales?

Answer 1

Nota: por supuesto, falla ya en $\mathbb{C}$ . Sólo hay que tener en cuenta $(z,w)=z\overline{w}$ y $(z,w)'=2z\overline{w}$ . Y ya ves cómo generalizar esta idea de dilatación. Pero pensé que podría ser más interesante dar el punto de vista un poco más general a continuación.

Si $(x,y)$ es un producto interno y si $P$ es invertible en $B(H)$ entonces $$ (x,y)':=(Px,Py) $$ es un producto interno equivalente. Si $P$ no es una isometría para este último, toma $x$ tal que $\|Px\|\neq \|x\|$ . Entonces $$ (x,x)'=(Px,Px)=\|Px\|^2\neq \|x\|^2=(x,x). $$ En particular, los funcionales $(x,\cdot )'$ y $(x,\cdot )$ son distintos.