para $n = 2,$ I se puede visualizar que el determinante $n \times n$ matriz es el área de los paralelogramos por el hecho de calcular el área por coordenadas. Pero, ¿cómo puede uno fácilmente se da cuenta de que es verdad para cualquier dimensiones?
Respuestas
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Si la columna de vectores son linealmente dependientes, tanto el determinante y el volumen son cero. Para asumir independencia lineal. El determinante no cambia al añadir múltiplos de una columna a otra. Esto corresponde a un sesgo de la traducción de la forma de paralelepípedo, que no afecta a su volumen. Por una secuencia finita de operaciones de este tipo, usted puede transformar su matriz diagonal de la forma, donde la relación entre el determinante (=producto de las entradas de la diagonal) y el volumen de un "rectángulo" (=al producto de las longitudes de los lados) es evidente.
James
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Aquí es el mismo argumento como Muphrid, tal vez escrito en un modo elemental.
Aplicar de Gram-Schmidt orthogonalization a $\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$, por lo que \begin{eqnarray*} v_{1} & = & v_{1}\\ v_{2} & = & c_{12}v_{1}+v_{2}^{\perp}\\ v_{3} & = & c_{13}v_{1}+c_{23}v_{2}+v_{3}^{\perp}\\ & \vdots \end{eqnarray*} donde $v_{2}^{\perp}$ es ortogonal a $v_{1}$; y $v_{3}^{\perp}$ es ortogonal a $span\left\{ v_{1},v_{2}\right\} $, etc.
Desde determinante es multilineal, anti-simétrica, entonces \begin{eqnarray*} \det\left(v_{1},v_{2},v_{3},\ldots,v_{n}\right) & = & \det\left(v_{1},c_{12}v_{1}+v_{2}^{\perp},c_{13}v_{1}+c_{23}v_{2}+v_{3}^{\perp},\ldots\right)\\ & = & \det\left(v_{1},v_{2}^{\perp},v_{3}^{\perp},\ldots,v_{n}^{\perp}\right)\\ & = & \mbox{signed volume}\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right) \end{eqnarray*}
Muphrid
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En 2d, se debe calcular el área de un paralelogramo generado por dos vectores utilizando el producto cruzado. En 3d, se debe calcular el volumen de un paralelepípedo utilizando el triple producto escalar. Ambos de estos puede ser escrito en términos de un factor determinante, pero probablemente no es claro cuál ha de ser su generalización a dimensiones superiores.
Que la generalización se llama la cuña de producto. Dado $n$ vectores $v_1, v_2, \ldots, v_n$, la cuña de producto $v_1 \wedge v_2 \wedge \ldots \wedge v_n$ es llamado un $n$-vector, y tiene como su magnitud la $n$-volumen de ese $n$-paralelepípedo.
¿Cuál es la relación entre la cuña del producto y el determinante? Bastante simple, en realidad. Hay una generalización natural de los lineales de los mapas para trabajar en $k$-vectores. Dado lineal mapa de $\underline T$ (que puede ser representada como una matriz), la acción de este mapa en un $k$-vector se define como
$$\underline T(v_1 \wedge v_2 \wedge \ldots \wedge v_k) \equiv \underline T(v_1) \wedge \underline T(v_2) \wedge \ldots \wedge \underline T(v_k)$$
Cuando se habla de $n$-vectores en un $n$-dimensiones del espacio, es importante darse cuenta de que el "espacio vectorial" de estos $n$-vectores es, en realidad, de una sola dimensión. Es decir, si usted piensa acerca de volumen, no es sólo una unidad de volumen en un espacio dado, y todos los otros volúmenes se acaba de escalar sus múltiplos. Por lo tanto, cuando hablamos de la acción de un lineal mapa en un $n$-vector, podemos ver que
$$\underline T(v_1 \wedge v_2 \wedge \ldots \wedge v_n) = \alpha [v_1 \wedge v_2 \wedge \ldots \wedge v_n]$$
para algunos escalares $\alpha$. De hecho, este es un sistema de coordenadas independiente de la definición del determinante!
Cuando se construye una matriz de $n$ vectores $f_1, f_2, \ldots, f_n$ como la matriz de columnas, lo que realmente está haciendo es la siguiente: usted está diciendo que, si usted tiene una base $e_1, e_2, \ldots, e_n$, luego está la definición de un mapa de $\underline T$ tal que $\underline T(e_1) = f_1$, $\underline T(e_2) = f_2$, y así sucesivamente. Así que cuando la entrada $e_1 \wedge e_2 \wedge \ldots \wedge e_n$, se obtiene
$$\underline T(e_1 \wedge e_2 \wedge \ldots \wedge e_n) = (\det \underline T) e_1 \wedge e_2 \wedge \ldots \wedge e_n= f_1 \wedge f_2 \wedge \ldots \wedge f_n$$
Esto es cómo usted puede utilizar una matriz determinante para calcular volúmenes: es sólo una manera fácil de construir algo que calcula automáticamente el producto exterior.
Edit: ¿cómo uno puede ver que la cuña producto con precisión da el volumen de un paralelepípedo. Cualquier vector se puede descomponer en perpendicular y paralelo de las partes con respecto a otro vector, a un avión, y así sucesivamente (o a las $k$-vector). Como tal, si tengo dos vectores $a$$b$, luego de que la cuña del producto $a \wedge b = a \wedge b_\perp$ donde $b_\perp$ efectivamente es la altura del paralelogramo. De manera similar, si me la construcción de un paralelepípedo con un vector de $c$, luego de que la cuña del producto $a \wedge b \wedge c = (a \wedge b_\perp) \wedge c_\perp$ donde $c_\perp$ se encuentra totalmente normal $a \wedge b_\perp$. Por lo que podemos de forma recursiva hacer esto para cualquier $k$-vector, mirando vectores ortogonales en su lugar, que es mucho más fácil ver los volúmenes de.
