Estabilidad de una ecuación no lineal tipo péndulo

Question

Estoy trabajando con una ecuación diferencial del tipo $$ \ddot{x} + a \dot{x} + b\sin{x} - c = 0, $$ donde la condición inicial es un punto de equilibrio: $\dot{x}(0) = 0, x(0) = \arcsin{\frac{c}{b}}$ y después de un tiempo crítico $\tau > 0$ la constante $b$ cambia a una constante diferente $b'$ . Por lo tanto, la ecuación completa sería algo así como $$ \ddot{x} + a \dot{x} + b\sin{x} + \left(b'\Theta(t-\tau) - b\Theta(t-\tau)\right)\sin{x} - c = 0, $$ donde $\Theta(\cdot)$ denota la función escalonada de Heaviside. Estoy tratando de determinar para qué valores de las constantes $a,b,c,b',\tau$ la solución convergerá a un equilibrio estable, pero no tiene mucha idea de por dónde empezar. Cualquier aportación, ya sea numérica, teórica o analítica, es de gran interés.

Answer 1

Algunas ideas en caso de casi linealidad.

Suponiendo que $\sin x \approx x$ y transformando a Laplace tenemos

$$ X(s) = \frac{(s^2+a s)x_0 + s x'_0 + c}{s(b-\delta b e^{s \tau}+a s+ s^2)} $$

Aquí la estabilidad está asociada a la ubicación de la raíz para $D(s)=s(b-\delta b e^{s \tau}+a s+ s^2)=0$ . Haciendo $s = x + i y$ tenemos

$$ \cases{ R(x,y,a,b,\delta b,\tau)=a x^2-a y^2+b x+\delta b e^{\tau x}( y \sin (\tau y)-x\cos (\tau y))+x^3-3 x y^2=0\\ S(x,y,a,b,\delta b,\tau)=2 a x y+b y-\delta b e^{\tau x}( x \sin (\tau y)+y \cos (\tau y))+3 x^2 y-y^3 = 0 } $$

ahora podemos calcular numéricamente un conjunto de parámetros tales que el $D(s)$ Las raíces se encuentran en una región de estabilidad conveniente. Sigue un MATHEMATICA script que implementa una forma posible.

sr = b x + a x^2 + x^3 - a y^2 - 3 x y^2 - db E^(tau x) x Cos[tau y] + db E^(tau x) y Sin[tau y];
si = b y + 2 a x y + 3 x^2 y - y^3 - db E^(tau x) y Cos[tau y] - db E^(tau x) x Sin[tau y];
sol = NMinimize[{sr^2 + si^2, x <= -1.5, y >= 1} /. {tau -> 0.8 }, {a,b, db, x, y}]
equ0 = X''[t] + a X'[t] + (b - db HeavisideTheta[t - tau]) Sin[X[t]] -  c /. sol[[2]] /. {tau -> 0.2 , c -> 1/2}
tmax = 10;
solX = NDSolve[{equ0 == 0, X[0] == 0.2, X'[0] == 0}, X, {t, 0, tmax}][[1]]
Plot[Evaluate[X[t] /. solX], {t, 0, tmax}, PlotRange -> All,  PlotStyle -> {Thick, Blue}]

NOTA

Los resultados se comprueban con la planta no lineal.

$$ X''(t)+a X'(t)+(b-\delta b \Theta (t-\tau ))\sin (X(t))-c=0 $$

Answer 2

La respuesta no depende de ninguno de los dos $b$ o $\tau$ Como empiezas en un punto de equilibrio, permanecerás ahí todo el tiempo. $t<\tau$ por lo que sólo hay que tener en cuenta la segunda parte, que es complicada debido a la $c$ plazo . Será bastante tedioso analizar la estabilidad usando el método de Lyapunov, así que daré un análisis por intuición y física simple tratando el sistema como péndulo invertido con amortiguación y par constante $c$ aplicado .

Observe que :

1 ) Si $|c|>|b'|$ su sistema no tendrá un punto de equilibrio , en este caso el coeficiente de amortiguación $a$ determina el comportamiento :

1. Si $a<0$ explotará o se estabilizará en un estado en el que $\dot{x}$ es periódica .
2. Si $a> 0$ se estabilizará en un estado en el que $\dot{x}$ es periódica .

2 ) Si $|c|<|b'|$ el sistema tendrá dos conjuntos de puntos de equilibrio : $y=\{\arcsin(\frac{c}{b'})+2n \pi\}$ y $z=\{\arcsin(\frac{c}{b'})+(2n+1) \pi\}$ , donde $n \in \mathbb{Z}$ entonces hay dos casos que dependen de $a$ :

1. Si $a>0$ un conjunto será el equilibrio estable y el otro será el equilibrio de silla, dependiendo de los signos de $c$ y $b'$ , también podría obtener un ciclo límite semiestable.
2. Si $a<0$ un conjunto será inestable de equilibrio y el otro será de equilibrio de silla dependiendo de los signos de $c$ y $b'$ , también podría obtener un ciclo límite semiestable.

3 ) Si $|c|=|b'|$ el conjunto de puntos de equilibrio será degenerado como resultado de la bifurcación entre los dos conjuntos $y$ y $z$ .