Irreductible pero no completamente irreducible

Question

Considere un producto de i.i.d. $d\times d$ matrices aleatorias $A_{i}$ (con $\mathbb{E}\log\left\Vert A_{i}\right\Vert <\infty$ ).

Dejemos que $F:M\times \mathbb R^d\to M\times \mathbb R^d$ sea un cociclo lineal, es decir $F(x,v):=(f(x),A(x)v)$ definido por una función medible $A:M\to GL(d)$ sobre un mapa medible $f:M\to M$ que preserva $\mu.$

Un cociclo es irreducible (resp. completamente irreducible) si no existe ningún subespacio vectorial propio no nulo $L$ (resp. unión finita no nula $L$ de subespacios propios) tal que $A(x)L=L$ para $\mu$ a.e. punto.

Pregunta ¿se podría dar un ejemplo que sea irreducible pero no completamente irreducible?

Answer 1

Dejemos que $X=\{1,2\}^{\mathbb{N}}$ y $A_{1}=\mathrm{diagonal}(2,\frac{1}{2})$ , $A_{2}=\mathrm{antidiagonal}(1,1)$ .

El cociclo es irreducible pero no completamente irreducible.