Ecuación diferencial con inecuaciones

Question

Dado que $y'(x)+p(x)y(x)\geq 0$ y $y(x_0)\geq 0$ ¿Cómo se puede demostrar que $y(x)\geq0$ para todos $x\in [x_0,\infty)$

Answer 1

Definir $b=y'+py$ para que tengas, bueno.., $y'+py=b$ y $b\geq0$ . Resolver la ecuación no homogénea para $y$ y utilizar ahora que $b$ es no negativo.

Answer 2

¿No se puede razonar de la siguiente manera, sin introducir la función $b$ ?

Multiplicando ambos lados de la desigualdad diferencial $y^\prime (x)+p(x)y(x)\geq 0$ por la función positiva $M(x):= \exp \left( \int_{x_0}^x p(t)\ \text{d} t\right)$ rendimientos:

$y^\prime (x) M(x) +y(x)\ p(x)M(x) \geq 0$ ;

pero $M^\prime(x)=p(x) M(x)$ , de ahí que se reescriba la última desigualdad:

$\frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ y(x) M(x)\right]\geq 0$ ,

por lo que la función $y(x)M(x)$ (que es diferenciable en $]x_0,+\infty[$ pues es producto de funciones diferenciables) aumenta en $[x_0,+\infty[$ Este hecho implica:

$y(x)M(x)\geq y(x_0)M(x_0)=y(x_0)\geq 0$

y a fortiori $y(x)\geq 0$ para todos $x\geq x_0$ que es lo que se reclama.

NOTA: La función auxiliar $M(x)$ es el recíproco de la solución única de la EDO homogénea:

$\phi^\prime (x)+p(x)\phi(x)=0$

que satisface $\phi(x_0)=1$ . Así que $M(x)$ no es apareció de la nada de hecho, el problema con el que te enfrentas puede leerse como un resultado de la comparación entre la solución y las supersoluciones del problema:

1. $\begin{cases} u^\prime (x)+p(x)u(x)=0 &\text{, in } ]x_0,+\infty[ \\ u(x_0)=y_0\end{cases}$

de la siguiente manera: cada supersolución del problema 1 es mayor que su única solución en $[x_0,+\infty[$ .

P.D.: No he comprobado la fecha antes de contestar. No sé si esto puede considerarse como necroposting o no importa en absoluto... Lo siento de todos modos, la próxima vez prestaré más atención.