Dejemos que $\sum n e^{-n}z^n$ sea una serie de potencias. Para encontrar el radio de convergencia y el dominio de convergencia de la serie de potencias....
He encontrado que el radio de convergencia es $e$ por la prueba de la proporción. También se ha visto que en $z=e$ la serie diverge.
Podemos concluir de aquí que el dominio de convergencia es la bola abierta $|z| < e$ ?
Por lo que has hecho hasta ahora... no, no tienes suficiente para concluir que el dominio de convergencia es la bola abierta de radio $e$ . El comportamiento de la frontera puede ser más sutil; considere, por ejemplo, una serie similar como
$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^n}{n}$$
cuyo dominio de convergencia incluye $z = -1$ aunque el radio es $1$ .
Sin embargo, en este caso particular, estás bien. Tenga en cuenta que si $|z| = e$ entonces
$$|n e^{-n} z^n| = n \left(\frac{|z|}{e}\right)^n = n \to \infty$$
por lo que la serie diverge en toda la frontera.
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No, debe comprobar $z=-e$ por separado. Afortunadamente, esto es fácil.
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La fórmula del radio de Cauchy-Hadamard (Cauchy, en 1829, y Hadamard, independientemente, ¡en 1889!): Sea $1/R=\lim \sup_{n\to \infty} |A_n|^{1/n}.$ ... (donde $1/0=\infty$ y $1/\infty =0.$ ). Si $|z|<R$ entonces $\sum_nA_nz^n$ converge. Si $|z|>R$ entonces $\sum_nA_nz^n$ diverge.
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Convergencia de $\sum_n A_nz^n$ cuando $|z|$ es igual al radio de convergencia es una Q complicada en general.