Estimación de la derivada de una función completa

Question

Supongamos que $f(z)$ es una función entera tal que $f(z)/z^n$ está acotado para $|z|\geq R$ . Mostrar que $f(z)$ es un polinomio de grado máximo $n$ .

Como $f(z)$ es una función entera que pensé en considerar la expansión de la serie de potencias $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$$

Pero entonces esta pregunta se hace antes de introducir las series de potencia.

He comprobado si puedo hacerlo con esto.

Mi objetivo es demostrar que $f^{(d)}(0)=0$ para todos $d\geq n+1$ .

Estimación $$f^{(d)}(0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{C(0,R)}\frac{f(z)}{z^{d+1}}dz$$

Entonces pensé que podía usar eso $f(z)/z^n$ está acotado. Pero entonces tenemos que para $z:|z|>R$

Ayúdenme a estimar

Answer 1

Sugerencia: Deja que $R'>R$ y considerar $$ \frac{(n+1)!}{2\pi i}\int_{C(0,R')}\frac{f(z)}{z^{n+2}}dz. $$ Dado que se está integrando en el círculo de radio $R'$ y $R'>R$ esto no es una integral sobre un disco , usted sabe que $\left|\frac{f(z)}{z^{n+2}}\right|\leq\frac{C}{(R')^2}$ para alguna constante $C$ .

Tomando la magnitud de la integral, $$ \left|\frac{(n+1)!}{2\pi i}\int_{C(0,R')}\frac{f(z)}{z^{n+2}}\,dz\right|\leq\frac{(n+1)!}{2\pi}\int_{C(0,R')}\left|\frac{f(z)}{z^{n+2}}\right|\,|dz|\leq\frac{(n+1)!}{2\pi}\int_{C(0,R')}\frac{C}{(R')^2}\,|dz|. $$

Dado que la longitud de un círculo de radio $R'$ es $2\pi R'$ , tienes que $$ \left|\frac{(n+1)!}{2\pi i}\int_{C(0,R')}\frac{f(z)}{z^{n+2}}dz\right|\leq\frac{(n+1)!}{2\pi}\int_{C(0,R')}\frac{C}{(R')^2}\,|dz|\leq\frac{(n+1)!}{2\pi}\cdot\frac{2\pi C\cdot R'}{(R')^2}. $$

Desde $R'$ es arbitraria (pero mayor que $R$ ), esta desigualdad es válida para todos los $R'$ lo suficientemente grande. Al dejar que $R'$ van al infinito, se puede concluir que $f^{(n+1)}(0)=0$ .

Ahora, generaliza para otros puntos y piensa en lo que significa que el $(n+1)$ La primera derivada es idéntica $0$ .