Utilizando la definición de límite para demostrar que $\lim\limits_{z \to 0} (\bar{z} ^{2}+2)=2$

Question

Para un determinado $\varepsilon>0$ Tenemos que encontrar ${\delta} >0$ tal que $|\bar{z}^{2}+2-2|<\varepsilon$ , siempre que $0<|z-0|<\delta$ así que considera $|\bar{z}^{2}+2-2|=|\bar{z}^{2}|=|x^2-y^2-i2xy| \leq {|x|^2}+{|y|^2}+2|x||y|$ .

Cómo proceder a continuación para conseguir la relación en términos de $|z|$ ?

Answer 1

Dejemos que $f(z)=\overline z^2+2$ y $\varepsilon>0$ se le dará. Entonces, para demostrar que $\lim\limits_{z\to0}(\overline z^2+2)=2$ determinaremos $\delta>0$ de manera que si $0<|z|<\delta$ entonces $|f(z)-2|<\varepsilon$ . Observe que $$|f(z)-2|=|\overline z^2|=|\overline z|^2=|z|^2<\delta^2$$ por lo que elegir $\delta=\sqrt\varepsilon$ es suficiente.