Conjuntos abiertos y desigualdad de Poincaré

Question

En muchas referencias, la desigualdad de Poincaré se presenta de la siguiente manera :

Dejemos que $\Omega\subset \mathbb R^d$ un conjunto abierto acotado. Podemos encontrar una constante $C$ que dependen de $\Omega$ tal que para todo $u\in H^1_0(\Omega)$ tenemos \begin{equation} \lVert u\rVert_{L^2}\leq C\lVert \nabla u\rVert_{(L^2(\Omega))^d}. \end{equation}

De hecho, funciona si $\Omega$ está limitada en una dirección. Otra condición suficiente es que podamos encontrar $v\neq 0$ tal que la medida de Lebesgue de $\{\lambda\in\mathbb R,\lambda v\in \Omega\}$ es finito).

Mi pregunta, tal vez un poco vaga, es la siguiente: ¿existe una "bonita" condición necesaria y suficiente para $\Omega$ para tener la desigualdad de Poincaré?

Answer 1

Tanto histórica como estadísticamente, el único nombre correcto para la desigualdad en cuestión $$ \int\limits_{\Omega}\!|u(x)|^2dx\leqslant C\!\int\limits_{\Omega}\!|\nabla u(x)|^2dx \quad \forall\,u\in H_0^1(\Omega)\tag{$ \N - El brindis $} $$ es ser el La desigualdad de Friedrichs . Siempre que el espacio de Sobolev $H_0^1(\Omega)$ se define como un cierre del subespacio $C_0^{\infty}(\Omega)$ en $H^1(\Omega)$ , la desigualdad de Friedrichs $(\ast)$ sigue siendo válida para cualquier conjunto abierto $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ de espesor finito, Por ejemplo , acotado en al menos una dirección. En caso contrario, un límite no liso $\partial\Omega$ requiere alguna definición correcta de un rastro cero en $\partial\Omega$ en cuyo caso la validez de la desigualdad $(\ast)$ depende totalmente de la geometría del dominio no liso, mientras que para ciertas generalizaciones simples del concepto de traza cero, las condiciones necesarias y suficientes para $(\ast\ast)$ para ser válidos ya han sido encontrados. Pero este no es el caso del verdadero La desigualdad de Poincaré que puede escribirse de la forma $$ \int\limits_{\Omega}\!|u(x)|^2dx\leqslant C\Bigl(\Bigl|\int\limits_{\Omega}\!u(x)dx\Bigr|^2+ \int\limits_{\Omega}\!|\nabla u(x)|^2dx\Bigr) \quad \forall\,u\in H^1(\Omega)\tag{$ | de la vida cotidiana. $}, $$ o en alguna otra forma equivalente. Desigualdad $(\ast\ast)$ es válida para un dominio acotado que se satisface, Por ejemplo la condición del cono, aunque la condición del cono no es necesaria para $(\ast\ast)$ para que sea válida. Alternativamente, existe un dominio acotado $\Omega$ con un solo punto singular $a\in\partial\Omega$ tal que $\partial\Omega\backslash\{a\}\in C^1$ mientras que la desigualdad $(\ast\ast)$ no es válido. Pero todavía no hay ninguna condición sobre la geometría del dominio acotado no liso $\Omega$ necesario y suficiente para la validez de $(\ast\ast)$ aún no se ha encontrado. Y hasta ahora, los dominios para los que la desigualdad $(\ast\ast)$ es válido permanecen etiquetados como el Dominios de Nikodim (véase la página 330 en R.E. Edwards " Análisis funcional. Teoría y aplicaciones ". Dover Publ., N.Y., 1995).