División de primos en extensiones de Galois

Question

Tengo el siguiente problema: supongamos que $F/K$ es una extensión abeliana (de Galois) de campos numéricos, el grupo de Galois G, y $\mathfrak{p}$ es un primo de K, $\mathfrak{P}$ un primo de F que divide a $\mathfrak{p}$ ; entonces sea M el subcampo de F fijado por el grupo de descomposición $G_{\mathfrak{P}} \subset G$ . Entonces quiero demostrar que $\mathfrak{p}$ se divide completamente en M; todos los índices de ramificación $e_i$ y los títulos de la clase de los residuos $f_i$ son iguales a 1 en M/K.

Así, sé que el grado de una extensión es el producto de e, f y el número de primos (con todo $e_i$ son iguales, digamos a e, todos $f_i$ igual a f). Sé que $|G_{\mathfrak{P}}|=ef$ es el producto del índice de ramificación y el grado de la clase de residuo. Sin embargo, me cuesta demostrar que $\mathfrak{p}$ se divide completamente en M. Siento que tengo muchas opciones y no estoy seguro de qué es lo mejor: Podría tratar de mostrar directamente que cada $e_i$ y $f_i=1$ o tratar de jugar con la ley de la torre y el grado $[M:K]$ o tratar de utilizar las propiedades del grupo de descomposición o algo similar. Sin embargo, nada de lo que he hecho hasta ahora me ha llevado a ninguna parte, ¿podría alguien ayudarme, por favor? Gracias de antemano. -Tom

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Answer 1

Pistas:

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(1) Si $\mathfrak{P}_1,...,\mathfrak{P}_n$ son los primos de $\mathcal{O}_F$ por encima de $\mathfrak{p}$ y $G_{\mathfrak{p}} = \langle G_{\mathfrak{P}_1},...,G_{\mathfrak{P}_k}\rangle.$ Entonces $\mathfrak{p}$ se divide completamente en $F^{G_{\mathfrak{p}}}.$

(2) En una extensión abeliana, $F/K,$ el grupo $G_{\mathfrak{p}} = \langle G_{\beta_1},...,G_{\beta_k}\rangle = G_{\mathfrak{P}}$ para cualquier $\mathfrak{P}|\mathfrak{p}.$

Answer 2

He aquí algunas ideas.

Dejemos que $\mathfrak{P}_M = \mathfrak{P} \cap M$ . Se puede utilizar la multiplicatividad de los grados de ramificación para demostrar que $e(\mathfrak{P}/\mathfrak{P}_M) \leq e$ y, de forma similar, que $f(\mathfrak{P}/\mathfrak{P}_M) \leq f$ . Pero $[F : M] = ef$ y $\mathfrak{P}$ es el único primo de $F$ que se encuentra en la parte superior $\mathfrak{P}_M$ . Puedes combinar estos dos últimos hechos para demostrar que las desigualdades anteriores tienen que ser igualdades.