Es un bijective homotopy equivalencia con bijective homotopy inversa de una homeomorphism?

Question

He estado pensando en esto por un tiempo, pero no llegará muy lejos. Tal vez alguien aquí puede decir algo al respecto.

Yo sé de un ejemplo de dos espacios de $X, Y$ continuo con bijections en ambas direcciones. Es decir, definir $X=Y=\Bbb Z\times\{0,1\}$. Se define la base para $X$ compuesto por los conjuntos de $$\{(-n,0)\},\ \ \{(-n,1)\},\ \ \{(0,0)\},\ \ \{(0,0),(0,1)\},\ \ \{(n,0),(n,1)\}$$ The basis for $De$ Y será $$\{(-n,0)\},\ \ \{(-n,1)\},\ \ \{(0,0),(0,1)\},\ \ \{(n,0),(n,1)\}$$ Aquí $n>0$ en ambas definiciones.

Ahora vamos a $f:X\to Y$ ser el mapa de $(n,i)\mapsto(n,i)$. Dado que la topología en $X$ es más fina que la de $Y$, es continua. Definir $g:Y\to X$ envío de $(n,i)$$(n+1,i)$. A continuación, tanto en $f$ $g$ son continuas bijections. Sin embargo $g$ no es un homotopy de equivalencia. De hecho, la única homotopy inversa de a $f$ mapa de $\{(0,0),(0,1)\}$$(0,0)$, por lo que no puede ser bijective. Desde un mapa existe, $f$ es de hecho un homotopy de equivalencia.

El ejemplo anterior se puede generalizar: Si $(X,\tau)$ no es indiscreta espacio que la deformación se retrae a un punto $a$, $r:X\to\{a\}$ es la retracción y $i:\{a\}\to X$ la inclusión, a continuación, el mapa de identidad $(X,\tau)\to (X,\tau_{in})$ es un bijective homotopy equivalencia con el inverso $is$ donde $s:(X,\tau_{in})\to\{a\}$.

Así que la pregunta es

Si $f:X\to Y$ es un bijective homotopy equivalencia con un bijective homotopy inverso $g$ $f$ un homeomorphism?

Answer 1

Después de algunas ideas que he encontrado un contraejemplo. No necesito algo muy extraño espacios, en realidad es bastante simple construcción y estoy sorprendido de que yo no había pensado en este truco antes.

Deje $X$ $Y$ dos no homeomórficos espacios continuo con bijections $f:X\to Y$$g:Y\to X$. Un ejemplo de este tipo de espacios se describe en mi pregunta. Los mapas de $f\times 1:X×I\to Y×I$ $g×1:Y×I\to X×I$ son continuas bijections, y que inducen continua bijections $\tilde f:CX\to CY$ $\tilde g:CY\to CX$ entre los conos. Si $\tilde f$ fueron una homeomorphism, entonces también lo sería su restricción a $X\times\{0\}\cong X$, que es prácticamente $f$. Por lo tanto $\tilde f$ $\tilde g$ no son homeomorphisms, pero son homotopy inversos el uno al otro como el cono sobre un espacio siempre es contráctiles y contráctiles los espacios de la terminal de objetos en el homotopy categoría $\mathbf{hTop}$.