Dejemos que $(\Omega, F, \mu)$ sea un espacio de medida finita, $Y$ un espacio de Banach y $f \colon \Omega \to Y$ una función tal que existe una secuencia $(f_n)_n$ de funciones de valor contable de la forma $$ f_n=\sum_{m=1}^\infty y_{n,m} 1_{A_{n,m}},$$ donde $y_{n,m} \in Y$ y $A_{n,m} \in F$ , convergiendo $\mu$ casi en todas partes a $f$ . Me dijeron que ahora es posible recortar del $f_n$ tal que existe una secuencia de funciones simples que convergen en casi todas partes a $f$ . ¿Alguna idea sobre cómo conseguirlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
user36150
Puntos
8
Desde $\mu$ es continua desde arriba, podemos encontrar para cada $n \in \mathbb{N}$ algunos $K_n \in \mathbb{N}$ tal que
$$\left| \mu \left( \bigcup_{m=1}^{K_n} A_{n,m} \right)- \mu \left( \bigcup_{m=1}^{\infty} A_{n,m} \right) \right| \leq 2^{-n}.$$
La función
$$g_n := \sum_{m=1}^{K_n} y_{n,m} 1_{A_{n,m}}$$
es una función simple y $\mu(f_n \neq g_n) \leq 2^{-n}$ para todos $n \in \mathbb{N}$ . Como
$$\begin{align*} &\mu \left( \{g_n \, \text{does not converge to $f$}\} \right) \\ &\leq \mu \left( \{ g_n \, \text{does not converge to $f$}\} \cap \bigcap_{n =N}^{\infty} \{f_n = g_n\} \right) + \mu \left( \bigcup_{n =N}^{\infty} \{f_n \neq g_n\} \right) \end{align*}$$
para cada $N \in \mathbb{N}$ obtenemos
$$\begin{align*} \mu \left( \{g_n \, \text{does not converge to $f$}\} \right) &\leq \mu \left( \{ f_n \, \text{does not converge to $f$}\}\right) + \sum_{n =N}^{\infty} \mu(f_n \neq g_n) \\ &\leq 0 + \sum_{n =N}^{\infty} 2^{-n}. \end{align*}$$
Desde $N$ es arbitraria, esto demuestra que $g_n$ converge en casi todas partes a $f$ .
