¿Por qué la suma de diez números de Fibonacci consecutivos es siempre divisible por $11$ ?

Question

Me preguntaba si alguien tiene alguna idea sobre el hecho de que la suma de cualquier $a_1, \dots, a_{10}$ números Fibonacci consecutivos es divisible por $11$ (y además es igual a $a_7*11$ ). ¿Qué puede decirnos esto sobre la serie en su conjunto (su estructura, etc.)?

Answer 1

Sólo hay que escribir cada término de la suma en términos de $a_1$ y $a_2$ (teniendo en cuenta que $a_{n+2}=a_n+a_{n+1}$ ): $$a_1+a_2+(a_1+a_2)+(a_1 + 2a_2)+(2a_1+3a_2)+(3a_1+5a_2)+(5a_1+8a_2)+(8a_1+13a_2)+(13a_1+21a_2)+(21a_1+34a_2). $$

Entonces la suma es claramente igual a $55a_1+88a_2 = 11(5a_1+8a_2)$ que es $11$ veces el séptimo término de la suma.