Pregunta sobre la propiedad de Markov fuerte en la prueba de René Schilling del principio de reflexión de Désiré André

Question

Estoy leyendo la prueba del principio de reflexión del movimiento browniano de la obra de René Schilling Movimiento browniano y cálculo estocástico. Hay dos partes en las siguientes identidades que no puedo entender. En la prueba de abajo, dice que $B_{\tau_b + (t-\tau_b)} - B_{\tau_b} \in \mathscr{F}_\infty^W \coprod \mathscr{F}_{\tau_b}^B$ y $\sim W_{t-\tau_b}$ . Esto se desprende del SMP o del Teorema 6.5 que figura a continuación. Sin embargo, para $W_{t-\tau_b} := B_{\tau_b + (t-\tau_b)} - B_{\tau_b}$ para que tenga sentido, necesitamos $t-\tau_b \ge 0$ es decir, la condición de $\{\tau_b \le t\}$ . Por lo tanto, todo esto sólo es válido cuando suponemos $\tau_b \le t$ que es un evento en $\mathscr{F}_{\tau_b}^B$ . ¿Cómo podemos asegurarnos de que $1_{\tau \le b}B_{\tau_b + (t-\tau_b)} - B_{\tau_b}$ es independiente de $\mathscr{F}_{\tau_b}$ y se distribuyen según $W_{t-\tau_b}$ de la propiedad de Markov fuerte en el teorema 6.5?

Además, ¿dónde está la independencia de $\{ B_{{\tau_b}+(t-\tau_b)} - B_{\tau_b} <0\}$ y $\mathscr{F}_{\tau_b}^B $ bajo el RHS de la primera igualdad realmente utilizada aquí? Por lo que veo, todo lo que necesitamos es que $B_{{\tau_b}+(t-\tau_b)} - B_{\tau_b} $ se distribuye como $W_{t-\tau_b}$ que es simétrica respecto al origen, por lo que obtenemos la siguiente igualdad, y la igualdad final se deduce de $B_{\tau_b}=b$ . Pero de nuevo, no sé cómo interpretar $W_{t-\tau_b}$ aquí es la causa $t-\tau_b$ es aleatorio, mientras que $t$ en $W_t$ de 6,5 no lo es.

No he podido resolver estas cuestiones por mi cuenta. Agradecería mucho cualquier ayuda.

La propiedad de Markov fuerte, teorema 6.5, es la siguiente del libro.

Answer 1

Puedo recomendar el libro de Jean-Francois Le Gall, Brownian Motion, Martingales and Stochastic Calculus, en particular, la sección 2.4 titulada Strong Markov Property of Brownian Motion. Su prueba entra en un poco más de detalle en el manejo de los pasos particulares que usted ha mencionado.

Tengo la prueba escrita con bastantes detalles ya que esto me molestaba mucho también pero es bastante desordenada.

Dejar $(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})$ sea el espacio de probabilidad, la idea es observar que $\{\omega \in \Omega : \tau_b \leq t \} \cap \{\omega \in \Omega : W_{t - \tau_b} < 0\} = \{ \omega \in \Omega : (\tau_b, W_t) \in A\} $ donde $A := \{ (s,w) \in \mathbb{R}_+ \times C(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}^d) : s \leq t, w(t - s) < 0\}$ . En $\mathbb{R}_+ \times C(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}^d)$ podemos declarar el producto $\sigma$ -generada por el álgebra de Borel $\sigma$ -álgebra en $\mathbb{R}_+$ y la canónica en $C(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}^d)$ . R. Schilling lo menciona en su texto cuando introduce la medida de Wiener al principio del capítulo $4$ . Tenemos que comprobar también que $A$ es medible con respecto al producto $\sigma$ -Álgebra.

Tenga en cuenta que como $\tau_b$ y $W$ son independientes, entonces para el mapeo del producto $(\tau_b, W_t): \Omega \rightarrow \mathbb{R}_+ \times C(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}^d)$ dado por $\omega \mapsto (\tau_b(\omega),W_t(\omega))$ En realidad tenemos que la distribución conjunta es sólo la medida del producto, es decir $(\tau_b, W_t)_\#\mathbb{P} = (\tau_b)_\#\mathbb{P} \otimes (W_t)_\# \mathbb{P}$ . Pero ten en cuenta que la ley del movimiento browniano, $(W_t)_\#\mathbb{P}$ podría sustituirse por cualquier otro movimiento browniano (véase la observación de R. Schilling $4.4$ en el capítulo $4$ ), en concreto, lo sustituimos por $(-W_t)_\# \mathbb{P}$ ya que $- W_t$ es también un movimiento browniano. Además, hay que tener en cuenta que como $W_t$ es independiente de $\tau_b$ entonces $- W_t$ también es independiente de $\tau_b$ . Un razonamiento similar da como resultado que $(\tau_b, -W_t)_\# \mathbb{P} = (\tau_b)_\#\mathbb{P} \otimes (-W_t)_\# \mathbb{P}$ .

Juntando todo, tenemos que $(\tau_b, W_t)_\# \mathbb{P} = (\tau_b, -W_t)_\# \mathbb{P}$ para que $$ \mathbb{P}(\{\omega \in \Omega : \tau_b \leq t \} \cap \{\omega \in \Omega : W_{t - \tau_b} < 0\}) = \mathbb{P}(\{ \omega \in \Omega : (\tau_b, W_t) \in A\}) = (\tau_b, W_t)_\# \mathbb{P}(A) = (\tau_b, -W_t)_\# \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(\{ \omega \in \Omega : (\tau_b, -W_t) \in A\}) = \mathbb{P}(\{\omega \in \Omega : \tau_b \leq t \} \cap \{\omega \in \Omega : -W_{t - \tau_b} < 0\}) $$ de la que se desprende la igualdad que buscabas.

Espero que esto ayude.

Por si acaso: $f_\# \mathbb{P}$ es la medida pushforward, dada por $f_\# \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(\{ f \in A\})$ .