Encontrar la transformación lineal fraccionaria que implica al infinito

Question

Sé que utilizamos lo siguiente cuando intentamos encontrar una transformación lineal fraccionaria, $\frac { \left( w - w _ { 1 } \right) \left( w _ { 2 } - w _ { 3 } \right) } { \left( w - w _ { 3 } \right) \left( w _ { 2 } - w _ { 1 } \right) } = \frac { \left( , z - z _ { 1 } \right) \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) } { \left( z - z _ { 3 } \right) \left( z _ { 2 } - z _ { 1 } \right) }$ Sin embargo, al tratar de resolver la siguiente pregunta, necesito tratar con el infinito.

$$\Psi ( 1 ) = i , \Psi ( 0 ) = \infty , \Psi ( - 1 ) = 1$$ $$\Psi ( 2 ) = 1 , \Psi ( i ) = i , \Psi ( \infty ) = - 3 i$$

¿Existe algún atajo para encontrar transformaciones lineales fraccionarias únicas de estos tipos?

Answer 1

Dejemos que $\Psi(z) = \frac{az+b}{cz+d}$ ,

Para la primera fila: $$\Psi(0) = \infty \Longrightarrow d=0 \Longrightarrow c \neq 0 \ \text{ You can Suppose } \ c=1$$ Ahora te quedas $2$ ecuaciones con $2$ variables que simplemente se pueden resolver.

Para la segunda fila: $$\Psi(\infty) = -3i \Longrightarrow \frac{a}{c}=-3i \qquad \text{ You Can Suppose } \qquad a=-3i \quad \& \quad c=1$$ Ahora te quedas $2$ ecuaciones con $2$ variables que simplemente se pueden resolver.