Independencia de los lanzamientos de moneda

Question

Se lanza una moneda justa tres veces seguidas. Si al menos uno de de los lanzamientos ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que al menos de que al menos uno de los lanzamientos haya resultado en Cruz?

Mi argumento y respuesta: La moneda fue lanzada tres veces, y una de ellas salió cara. Así que tenemos dos pruebas desconocidas. Los lanzamientos de la moneda son independientes entre sí, por lo que no se puede obtener ninguna información útil del hecho de que uno de ellos haya salido cara. La probabilidad de obtener al menos una cruz en estos dos ensayos es $ \frac 12 + \frac 12 - \frac 14 = \frac 34 $ .

La respuesta dada: $ \frac 67 $ . La respuesta procede de la siguiente manera: Inicialmente el espacio muestral consta de 8 eventos. Ahora sabemos que uno de esos sucesos no puede ocurrir (TTT no puede ocurrir porque uno de ellos fue cara).6 de los 7 sucesos restantes tienen al menos una cola, por lo que la probabilidad es $ \frac 67 $ .

¿Por qué mi respuesta es incorrecta? ¿Qué me falta?

Answer 1

La respuesta $\frac{6}{7}$ es correcto. Cualquiera que sea el problema en tu razonamiento, creo que debe estar en la afirmación "no hay información útil" al decir que uno de los 3 lanzamientos fue cara. Me parece que hay una diferencia entre leer los resultados de las monedas ya lanzadas y predecir (como haces en tu argumento) los resultados de los lanzamientos futuros basándote en los anteriores. Evidentemente, como mencionas, cada lanzamiento es independiente, pero quizás la información sobre algunos de los lanzamientos sea útil si todos los lanzamientos tienen ya se ha hecho .

Respuesta: Puede sospechar que tiene una posibilidad de 50-50, pero no es el caso. El punto crucial es que no le dije que de las 999.999 monedas eran caras. Si hubiera hecho esta especificación, sería igualmente probable. Sin embargo, hay, de hecho, un millón de posibles secuencias de tiradas en las que sólo una es cruz. Aquí están: \begin{equation} T\, H\, H\, H\, ...\, H \\ H\, T\, H\, H\, ...\, H \\ H\, H\, T\, H\, ...\, H \\ . \\ . \\ . \\ H\, H\, H\, H\, ...\, T \\ \end{equation}

En cambio, sólo una secuencia tiene todas las cabezas. Suponiendo que las secuencias de lanzamientos son igualmente probables, debemos concluir que adivinar las colas es la opción adecuada. Observe que no podemos resolver este problema correctamente reduciendo el tamaño de nuestra cadena de lanzamientos a uno, de forma similar a su método. Tenemos que considerar las tiradas como parte de una secuencia mayor. ¡Espero que esto ayude!

Answer 2

Bueno, veamos el problema. Se trata de preguntar las probabilidades de lanzar cualquier cola dado que se ha lanzado al menos una cabeza, o $P(T>0|X>0)$ Utilizando la definición de probabilidad condicional, podemos decir que $P(T>0|X>0)=P(T>0,X>0)/P(X>0)$ . Entonces, utilizando algunas identidades, tenemos que $P(T>0,X>0)=1-P(T=0)-P(X=0)$ y $P(X>0)=1-P(X=0)$ .

Para decirlo con palabras, la probabilidad de que el triple de nuestra moneda contenga una cara y una cola es 1 menos la probabilidad de que no contenga ninguna cara o ninguna cola, y la probabilidad de que contenga al menos una cabeza es 1 menos la probabilidad de que no contenga ninguna cabeza.

Entonces, haciendo los cálculos restantes:

$$\frac{1-P(T=0)-P(X=0)}{1-P(X=0)}=\frac{1-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{8}}=\frac{\frac{6}{8}}{\frac{7}{8}}=\frac{6}{7}$$

Tu problema es que te fijaste específicamente en el caso en el que una cabeza fue volteada - no tuviste en cuenta otros casos.

Answer 3

Los lanzamientos de la moneda son independientes unos de otros,

Aquí está el error de tu razonamiento.

Los lanzamientos de moneda no son condicionalmente independiente bajo la restricción de que al menos uno es una cabeza.

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Dejemos que $H_k$ sea el caso de que el juicio $k$ muestra una cabeza, $T_k$ ser el caso de que sea una cola, y la evidencia de que al menos una de ellas muestra una cabeza lo es: $E = H_1\cup H_2\cup H_3$

Obviamente, bajo esa condición, cada ensayo particular seguirá teniendo una probabilidad no nula de que pueda ser una cola.

$$\mathsf P(T_1\mid E)~\mathsf P(T_2\mid E)~\mathsf P(T_3\mid E) >0$$

Sin embargo, allí la probabilidad condicional de que todos los ensayos sean colas es cero bajo la condición de que al menos uno de ellos sea una cabeza.

$$\mathsf P(T_1\cap T_2\cap T_3\mid E)=0$$