¿Cuál es la intuición de la multiplicidad de una raíz de una ecuación polinómica?

Question

El teorema fundamental del álgebra establece que:

Todo grado no nulo y de una sola variable $n\,$ polinomio con coeficientes complejos tiene, contados con multiplicidad exactamente $n\,$ raíces complejas.

El término que quiero entender es multiplicidad. Ahora, ya sé lo siguiente:

La multiplicidad de una raíz $x_0$ de una ecuación polinómica $p(x) = 0\,$ nos dice cuántas veces el factor $(x - x_0)\,$ divide el polinomio $p(x)$ . Eso está bien.

Pero lo que quiero tener, es una intuición. La definición de una raíz es: $x_0\,$ es una raíz de $p(x) = 0\,$ si y sólo si $p(x_0) = 0$ . Entonces, no entiendo cómo una raíz puede tener una propiedad llamada multiplicidad . Por ejemplo, la multiplicidad de una raíz $x_0$ no puede ser el número de veces $x_0\,$ resuelve la ecuación $p(x) = 0\,$ porque una raíz no puede realmente resolver una ecuación más de una vez .

Tampoco tiene sentido como el número de veces que la gráfica de la función $y = p(x)\,$ cumple con el $x$ -eje en el $x$ -coordenada que es $x_0$ porque se encuentran en un punto determinado sólo una vez [debido a la definición de función]. Pero conozco la intuición geométrica: Si la multiplicidad es impar, entonces el eje es cruzado , de lo contrario toca y vuelve y cuanto mayor sea la multiplicidad, más cerca estará $p(x)\,$ se mantiene cerca de la $x$ -en la vecindad de $x = x _0$ y así sucesivamente.

Lo que quiero es tener una intuición, una respuesta a la pregunta:

¿Cuál es la multiplicidad de una raíz de una ecuación polinómica?

¿Puede alguien ayudarme con esto?

NOTA: Aquí, estoy usando la multiplicidad de la misma manera que usaría el término frecuencia . Por favor, corrígeme si este uso es incorrecto.

Answer 1

El teorema fundamental del álgebra se establece en el dominio complejo ( $\mathbb C$ ). Esto nos recordó que tal vez podríamos tener una respuesta con complejos ( $\mathbb C$ ) punto de vista.

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Dejemos que $f(z)$ sea un polinomio sobre $\mathbb C$ y $u\in\mathbb C$ sea una raíz de $f(z)$ de la multiplicidad $m$ . Esto se expresa mediante una ecuación: $$f(z)=(z-u)^m g(z)$$ donde $g(z)$ es un polinomio que no tiene $u$ como su raíz.

Claramente $f$ trae $u$ a $0$ de un plano complejo a otro. Esto caracteriza la noción de raíz geométricamente:

Desde $f$ es continua, los puntos cercanos a $u$ se asignan a algunos puntos cercanos a $0$ . Por análisis complejo, un pequeño bucle alrededor de $u$ debe asignarse a otro bucle que se enrolle $m$ veces alrededor del origen. La siguiente imagen muestra el caso cuando $m=2$ :

Ejemplo:

Para cada número complejo $a$ podemos asignarle un color según su ángulo $\operatorname{arg} a$ . El color más brillante significa que el ángulo está más cerca de $0^\circ$ :

Dejemos que $f(z)=(z+1)^3(z-2)$ . Para cada punto $z$ en el plano complejo pintamos el color correspondiente para $\operatorname{arg}f(z)$ :

El eje horizontal es real y el vertical es imaginario. Los pequeños cuadrados verdes indican la longitud unitaria.

Cuando recorremos un camino $\gamma$ alrededor de $z=-1$ que es la raíz de la multiplicidad $3$ el color cambia (de blanco a negro) tres veces. Esto demuestra que el camino correspondiente $f(\gamma)$ hace tres bucles alrededor del origen del codominio. La discusión de la otra raíz $z=2$ es similar.

Esto caracteriza la noción de multiplicidad geométricamente, así que intentaré demostrar esta propiedad (o, al menos, dar una idea de cómo ocurre, porque no estoy muy familiarizado con el análisis complejo). Pero de momento puedes pensar que la multiplicidad es (o coincide) con el número de veces que cambia el color. Ese es el punto de vista que quería aportar.

(De hecho, se puede contar el cambio de color alrededor de un círculo que contenga todas las raíces. El resultado coincide con el grado de $f$ . Esto está relacionado con una prueba de el teorema fundamental del álgebra .)

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Prueba (o explicación):

Trabajaré en esta declaración:

Dejemos que $f$ tiene una raíz $u$ de la multiplicidad $m$ y $f$ se describe como $f(z)=(z-u)^mg(z)$ donde $g(z)$ es distinto de cero en $u$ .

Dejemos que $\gamma:[0,2\pi]\to\mathbb C$ definido por $\theta\mapsto u+e^{i\theta}$ sea un pequeño círculo que dé una vuelta alrededor de $u$ y no contiene otras raíces en su interior. Entonces $\gamma$ se asigna a una curva $\gamma_2$ por $f$ : $$\begin{matrix}\gamma_2:=f\circ\gamma:&[0,2\pi]&\to&\mathbb C\\ & \theta &\mapsto & f(u+re^{i\theta}).\end{matrix}$$ que hace un bucle $m$ veces alrededor del origen, al igual que la segunda imagen de esta respuesta.

Desde $\gamma$ no contiene otra raíz de $f$ , $\gamma$ no contiene ninguna raíz de $g$ . Esto significa que si dejamos que el radio $r$ tienden a cero, entonces $\gamma$ se reduce a $u$ gradualmente sin pasar por ninguna raíz de $g$ . Así, la curva correspondiente $g\circ \gamma$ puede reducirse a un punto sin pasar por cero.

(He utilizado implícitamente la continuidad de $g$ .)

Ahora, simplifiquemos $\gamma_2$ : $$\begin{aligned} \gamma_2(\theta)=f(u+re^{i\theta}) &= ((u+re^{i\theta})-u)^mg(u+re^{i\theta})\\[0.7em] &= re^{im\theta}g(u+re^{i\theta}). \end{aligned}$$

Desde $g(u+re^{i\theta})$ puede reducirse continuamente hasta un punto sin pasar por el origen, el cambio neto del ángulo de la espira $g(u+re^{i\theta})$ con respecto al origen es cero.

(Utilizo implícitamente alguna propiedad de la homotopía)

Así que el cambio neto del ángulo de $\gamma_2$ sólo es causada por $re^{im\theta}$ , que vientos $m$ veces alrededor del origen.

Answer 2

Para los polinomios sobre números reales (y complejos), siempre he encontrado útiles las siguientes imágenes intuitivas. Muestran diferentes polinomios que se cruzan con la recta y=0.

(trabajo propio) Para simplificar, supongamos que todas las raíces son reales. Considera los polinomios con raíces de multiplicidad 1,2,3 y 4 como se muestra en la fila superior de gráficos de la imagen. Perturbando un poco los coeficientes de estos polinomios (añadiéndoles números pequeños) se puede ver cómo las raíces se dividen en grupos de 1 (sólo un desplazamiento),2,3 y 4 raíces distintas. Los polinomios perturbados se muestran en la fila inferior. Cuando se resuelven las raíces de los polinomios utilizando métodos numéricos, las raíces que encontrarás corresponderán en la práctica a estos polinomios perturbados, ya que no puedes representar los coeficientes de los polinomios con una precisión arbitraria.

Answer 3

Si $a,b\in\mathbb C$ , dejemos que $p(z)=(z-a)(z-b)$ . Tiene dos y sólo dos raíces, que son $a$ y $b$ ¿cierto? Bueno, no del todo. Tiene dos y sólo dos raíces $a\neq b$ , pero sólo uno cuando $a=b$ . Sin embargo, si contamos las raíces con multiplicidad, ellas sí, siempre tiene dos raíces. Entonces, si en el caso en que $a=b$ contamos el doble de la raíz $a$ en $(x-a)(x-a)=(x-a)^2$ Siempre habrá dos raíces.

Además, contando las raíces con multiplicidad, no sólo es cierto que un $n$ th polinomio tiene $n$ raíces, ya que es cierto que el número de raíces de $p(x)q(x)$ es siempre igual al número de raíces de $p(x)$ más el número de raíces de $q(x)$ .

Answer 4

La multiplicidad de $x_0$ como raíz del polinomio $P$ es el número de veces que $(x-x_0)$ se divide en $P$ .

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Siempre me he sentido satisfecho:

Piensa en dividir un polinomio que tiene una raíz en $x_0$ con $(x-x_0)$ como la eliminación de esa raíz (también se cambia el polinomio completamente en la mayoría de los otros puntos, pero ese no es el punto aquí), pero si es una raíz con multiplicidad mayor que $1$ también será una raíz del resultado de la división.

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Supongo que también se podría ver la multiplicidad como una especie de indicación de lo plana que es la gráfica en la raíz. Si la multiplicidad es $1$ ,sólo cruza el $x$ -eje, para multiplicidades más altas se mantiene cerca (para usar sus propias palabras) del $x$ -eje en un intervalo mayor.

Answer 5

Simplemente, la multiplicidad de $r$ como raíz de $p(x)$ es la multiplicidad de $(x-r)$ en una factorización de $p(x)$ en factores lineales (asumiendo que estamos trabajando sobre los números complejos, cuando tal factorización existirá) o como un factor lineal en una factorización en factores generales en otros contextos.

Utilizando el algoritmo de la división siempre podemos escribir $$p(x)=(x-r)p_1(x)+r_1$$ donde $r_1$ es una constante. Configurar $x=r$ obtenemos $r_1=0$ . Esto puede servir para confirmarnos que $(x-r)$ es un factor de $p(x)$ si y sólo si $r$ es una raíz de $p(x)$ es decir, $p(r)=0$ .

Seguimos dividiendo por $x-r$ hasta llegar a $$p(x)=(x-r)^mp_m(x)$$ y $r$ no es una raíz de $p_m(x)$ . Entonces $m$ es la multiplicidad.

Para intuir lo que ocurre aquí, observe los gráficos de $p(x)=x, p(x)=x^2, p(x)=x^3 \dots$ y examinar el comportamiento en la única raíz $x=0$ . Entonces intente $q(x)=(x-1)p(x)$ para estos ejemplos y ver qué pasa. Si se encuentra que la intuición se construye más a partir de tales ejemplos, que de las explicaciones verbales.