La siguiente es una pregunta de tarea:
Sea M: N una extensión de campo, con un M algebraico sobre N. Demuestre que todo elemento de N(a) es algebraico sobre N.
¿Alguien puede darme una estrategia para abordar esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Kaj Hansen
Puntos
15355
Si un elemento $\alpha$ es algebraico sobre un campo $F$ entonces es una raíz de un polinomio irreducible $f(x) \in F[x]$ . Digamos que el polinomio tiene grado $n$ .
De ello se desprende que $F[\alpha]$ es un grado $n$ extensión del campo sobre $F$ . Ahora piensa en cómo se define el "grado" en términos de extensiones de campo como espacios vectoriales sobre el campo base: si $[F[\alpha]:F] = n$ entonces $\{1, \beta, \beta^2, ..., \beta^{n} \}$ no puede ser un conjunto linealmente independiente para cualquier $\beta \in F[\alpha]$ . Esto significa que, para cualquier $\beta \in F[\alpha]$ podemos escribir: $$\sum_{k=0}^{n} c_k\beta^k = 0\ \ \ \text{ for } \ c_k \in F \text{ not all zero}$$
¿Cómo puedes utilizar esta información para construir un polinomio para el que $\beta$ ¿es una raíz?
