intersección de espacios conectados por trayectorias decrecientes

Question

Si tenemos espacios conectados por trayectorias $A_0 \supseteq A_1 \supseteq A_2 \supseteq \ldots$ es $\bigcap^\infty A_i$ ¿conectado a la ruta?

Estaba pensando que si tomamos $A_i$ para ser un $1/i$ -Vecino del copo de nieve Koch $K$ , entonces todos los $A_i$ están conectadas por un camino y su intersección es $K$ ...pero parece claro que ¿Es el copo de nieve Koch una curva continua? que $K$ es una trayectoria en el plano y, por tanto, está conectada por una trayectoria. Así que eso no ayuda.

Me interesan especialmente los subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ . Esta pregunta está inspirada en Particiones de $\mathbb{R}^2$ en subconjuntos disjuntos, conectados y densos .

También tengo curiosidad por la misma pregunta con "conectado" en lugar de "conectado a la ruta".

Answer 1

No. Para $n \in \mathbb N$ dejar $$ K_n = \left\{x\in \mathbb R^2 \mid x_1 \ge 0, \left|x - \left(\frac 1n, 0\right)\right| = \sqrt{1 + \frac 1n^2} \right\} $$ y $A_i = \bigcup_{n \ge i} K_n$ . Como hemos $K_j \cap K_k = \{(0, \pm 1)\}$ para $j \ne k$ tenemos $\bigcap_i A_i = \bigcap_n K_n = \{(0, \pm 1)\}$ y por lo tanto la intersección no está conectada a la trayectoria (ni siquiera está conectada).

Answer 2

Para la posteridad, he aquí una bonita variación de la respuesta de @martini: $A_i = \{(0, 0), (0, 1)\} \cup (0, 1/i) \times (0, 1) \subset \mathbb{R}^2$ .

Es fácil ver que el $A_i$ están conectadas por un camino: todas son homeomorfas a un disco abierto más dos puntos límite. Pero su intersección es sólo esos dos puntos.