¿Qué importancia tiene el rango de una matriz? Sé que el rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes (lo que sea menor).
¿Por qué es un problema que una matriz tenga un rango deficiente?
Además, ¿por qué el valor más pequeño entre la fila y la columna es el rango?
Una respuesta intuitiva o descriptiva (también en términos de geometría) ayudaría mucho.
El rango de la matriz es probablemente el concepto más importante que se aprende en Álgebra Matricial. Hay dos maneras de ver el rango de una matriz. Una desde el punto de vista teórico y la otra desde el punto de vista aplicado.
Desde un punto de vista teórico, si decimos que un operador lineal tiene un rango $p$ significa que el rango del operador lineal es un $p$ espacio dimensional. Desde el punto de vista del álgebra matricial, el rango de columnas denota el número de columnas independientes de una matriz, mientras que el rango de filas denota el número de filas independientes de una matriz. Un hecho interesante, y creo que no obvio (aunque la prueba no es difícil), es que el rango de filas es el mismo que el de columnas. Cuando decimos que una matriz $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ tiene rango $p$ lo que significa es que si tomamos todos los vectores $x \in \mathbb{R}^{n \times 1}$ entonces $Ax$ abarca un $p$ subespacio dimensional. Veamos esto en un entorno 2D. Por ejemplo, si
$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ y que $x = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{2 \times 1}$ entonces $\left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array} \right) = y = Ax = \left( \begin{array}{c} x_1 + 2x_2 \\ 2x_1 + 4x_2 \end{array} \right)$ .
El rango de la matriz $A$ es $1$ y encontramos que $y_2 = 2y_1$ que no es más que una línea que pasa por el origen en el plano.
Lo que ha ocurrido es que los puntos $(x_1,x_2)$ en el $x_1 - x_2$ plano han sido asignados a una línea $y_2 = 2y_1$ . Mirando de cerca, los puntos de la $x_1 - x_2$ plano a lo largo de la línea $x_1 + 2x_2 = c = \text{const}$ se han mapeado todos en un solo punto $(c,2c)$ en el $y_1 - y_2$ plano. Así que el punto único $(c,2c)$ en el $y_1 - y_2$ el plano representa una línea recta $x_1 + 2x_2 = c$ en el $x_1 - x_2$ avión.
Esta es la razón por la que no se puede resolver un sistema lineal cuando tiene un rango deficiente. La matriz de rango deficiente $A$ mapas $x$ a $y$ y esta transformación no es onto (puntos en el $y_1 - y_2$ avión no en la línea $y_2 = 2y_1$ Por ejemplo $(2,3)$ no son mapeados en, lo que resulta en ninguna solución) ni uno-a-uno (cada punto $(c,2c)$ en la línea $y_2 = 2y_1$ corresponde a la línea $x_1 + 2x_2 =c$ en el $x_1 - x_2$ plano, lo que da lugar a infinitas soluciones).
Una observación que puedes hacer aquí es que el producto de las pendientes de la línea $x_1 + 2x_2 = c$ y $y_2 = 2y_1$ es $-1$ . Esto es cierto en general también para las dimensiones superiores.
Desde un punto de vista aplicado, el rango de una matriz denota el contenido informativo de la matriz. Cuanto menor sea el rango, menor será el "contenido de información". Por ejemplo, cuando decimos que un rango $1$ la matriz puede escribirse como producto de un vector columna por un vector fila, es decir, si $u$ y $v$ son vectores columna, la matriz $uv^T$ es una matriz de rango uno. Así que todo lo que necesitamos para representar la matriz es $2n-1$ elementos. En general, si sabemos que una matriz $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ es de rango $p$ entonces podemos escribir $A$ como $U V^T$ donde $U \in \mathbb{R}^{m \times p}$ y es de rango $p$ y $V \in \mathbb{R}^{n \times p}$ y es de rango $p$ . Así que si sabemos que una matriz $A$ es de rango $p$ todo lo que necesitamos es sólo $2np-p^2$ de sus entradas. Por lo tanto, si sabemos que una matriz es de bajo rango, podemos comprimir y almacenar la matriz y realizar operaciones matriciales eficientes con ella. Las ideas anteriores pueden extenderse a cualquier operador lineal y, de hecho, son la base de varias técnicas de compresión. También se puede consultar Descomposición del valor singular que nos da una forma agradable (aunque cara) de hacer aproximaciones de bajo rango de una matriz que permite la compresión.
Desde el punto de vista de la resolución de un sistema lineal, cuando la matriz cuadrada es de rango deficiente, significa que no tenemos información completa sobre el sistema, ergo no podemos resolver el sistema.
"No podemos resolver el sistema". - podemos, pero no en el sentido habitual... de ahí los mínimos cuadrados, la regularización de Tikhonov, y un montón de otros trucos elegantes.
El rango de una matriz es de principal importancia. Está estrechamente relacionada con la nulidad de la matriz (que es la dimensión del espacio de solución de la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ), a través del Teorema de la Dimensión:
Teorema de la dimensión. Dejemos que $A$ ser un $m\times n$ matriz. Entonces $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A) = n$ .
Incluso si todo lo que sabes sobre las matrices es que se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales, esto te dice que el rango es muy importante, porque te dice si $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ tiene una solución única o múltiples soluciones.
Cuando se piensa en las matrices como transformaciones lineales (hay una correspondencia entre $m\times n$ matrices con coeficientes en un campo $\mathbf{F}$ y las transformaciones lineales entre un espacio vectorial dado sobre $\mathbf{F}$ de dimensión $n$ con una base dada, y un espacio vectorial de dimensión $m$ con una base determinada), entonces el rango de la matriz es la dimensión de la imagen de esa transformación lineal.
La forma más sencilla de calcular la forma canónica de Jordan de una matriz (una forma importante de representar una matriz) es utilizar los rangos de ciertas matrices asociadas a $A$ lo mismo ocurre con la Forma Canónica Racional.
En realidad, el rango se muestra por todas partes, suele ser relativamente fácil de calcular y tiene muchas aplicaciones y propiedades importantes. Es probable que no sean del todo evidentes hasta que empieces a ver las innumerables aplicaciones de las matrices a cosas como el cálculo vectorial, el álgebra lineal y similares, pero créeme, están ahí.
Tengo entendido que si no es así $n$ como en el $m \times n$ no puede utilizarse como $n$ en $rank(A) + nullity(A) = n$
He publicado un enlace ( goo.gl/hKyvN ) que explica lo que es. Básicamente, es el span de las columnas, lo que significa que tomas las columnas de la matriz A, las multiplicas por todos los escalares posibles, y obtienes un espacio (que se llama imagen de esa matriz).
Si está interesado en aprender los porqués del álgebra lineal, le recomiendo encarecidamente que vea el libro de Gilbert Strang Curso de álgebra lineal y comprar su libro .
El rango de una matriz es una piedra angular para entender la terminación de matrices, que aborda problemas como el Premio Netflix y cuestiones afines en los sistemas de recomendación. El tema del "rango" en un espacio de mayor dimensión ( $>2$ ) es un interesante tema de investigación.
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¿Sabes qué es el espacio de columnas y filas de una matriz? ¿Conoces los espacios vectoriales? La interpretación geométrica inmediata es que RankA es la dimensión del espacio vectorial abarcado por los vectores columna.
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Sé que los espacios vectoriales son una colección de vectores que satisfacen los axiomas que se establecen para los espacios vectoriales. No entiendo lo que quieres decir con "espacios vectoriales abarcados por vectores columna".
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Hay buenas aplicaciones en la teoría de grafos cuando se trata de matrices de adyacencia. El RankA te dirá cosas sobre el grafo correspondiente como el número de componentes conectados. Sin embargo, no sé lo suficiente sobre esto como para dar una respuesta.
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