Núcleo de potencias de un operador normal

Question

Tengo que demostrar que si $A$ es un operador normal en un espacio de producto interno de dimensión finita, entonces el núcleo de $A^k$ coincide con el núcleo de $A$ . Yo diría que una inclusión es siempre cierta y fácil de demostrar, pero no veo cómo demostrar la otra.

Answer 1

La prueba es trivial si $A$ es no singular, por lo que no estudiamos este caso.

En primer lugar, para todas las matrices $ker A\subset \ker A^k$ .

En segundo lugar, para las matrices normales es bastante fácil demostrar que $\ker A=\ker A^\ast$ , $im A\bot \ker A$ y $im A^\ast\bot \ker A^\ast$ Véase, por ejemplo, en wiki.

Desde $im A^\ast\bot \ker A^\ast$ y $\dim (im A^\ast) + \dim (\ker A^\ast) = \dim V$ donde $V$ es el espacio vectorial en el que estamos trabajando, obtenemos que $\ker A^\ast = (im A^\ast)^\bot$ , $(\ker A^\ast)^\bot = im A^\ast$ . Claramente, $\ker A = (im A )^\bot$ , $(\ker A )^\bot = im A $ .

Además, si $A$ es normal, entonces también lo es $A^k$ .

Demostremos que $\ker A^2\subset \ker A$ . De hecho, tomemos $0\ne x\in \ker A^2$ y arbitraria $y$ . Entonces podemos escribir $$0=(A^2x,y) = (Ax,A^\ast y),$$ es decir $Ax\in (im A^\ast)^\bot.$ Por otro lado, para cualquier matriz $B$ la inclusión $ im B\subset (\ker B^\ast)^\bot$ retenciones. Por lo tanto, $$Ax\in (im A^\ast)^\bot\cap (\ker A^\ast)^\bot= im A^\ast \cap \ker A^\ast=0,$$ por lo tanto $x\in \ker A$ y por lo tanto $\ker A^2= \ker A$ . E

Con el mismo espíritu, supongamos que $\ker A^k=\ker A$ y considerar $x\in \ker A^{k+1}$ . Para todos los $y$ podemos decir $$0=(A^kx,A^\ast y),$$ por lo que $A^kx\in (im A^\ast)^\bot \cap im A = (ker A^\ast) \cap im A = ker A \cap im A =0$ Así que $x\in \ker A^k=\ker A$ , y concluimos que $\forall k>0\, \ker A^k=\ker A$ .

Answer 2

Esta afirmación también es válida en infinitas dimensiones:

Dejemos que $x\in\ker(A^2)$ . Entonces, para cualquier $y\in H$ tenemos $\langle Ax,A^*y\rangle = \langle A^2x,y\rangle = 0$ . Por lo tanto, $Ax\in (\operatorname{ran}A^*)^\perp$ . Pero (utilizando la normalidad del operador) $$ \overline{\operatorname{ran}A^*} = \overline{\operatorname{ran}(A^*A)} = \overline{\operatorname{ran}(AA^*)} = \overline{\operatorname{ran}A}. $$ Así, $Ax\in (\operatorname{ran}A)^\perp = \ker A^*$ . Finalmente, $\|Ax\|^2 = \langle A^*Ax,x\rangle = 0$ .

Supongo que la afirmación se mantiene incluso si $A$ es ilimitado, pero no estoy muy familiarizado con los operadores normales ilimitados.