Cómo derivar la identidad $\sin x/x=\prod_{n=1}^\infty \cos(x/2^n)$ sin utilizar el telescopio?

Question

Me pregunto cómo derivar la siguiente igualdad $$\frac{\sin x}{x}=\prod_{n=1}^\infty \cos(x/2^n)\tag{1}$$ sin utilizar el método del telescopio. Sé que ya existe un pregunta al derivar esta representación de producto infinito de $\sin x/x$ pero todas las respuestas en el enlace telescópico del producto. Aquí está el método, para completar.

En primer lugar, podemos utilizar la identidad trigonométrica $\sin x=2\cos (x/2)\sin(x/2)$ para rendir $\cos(x/2)=\frac{\sin x}{2 \sin(x/2)}$ . En general, esto implica que $$\cos(x/2^{n})=\frac{\sin (x/2^{n-1})}{2 \sin(x/2^{n})}$$

Nuestro producto infinito es pues $$\prod_{n=1}^\infty\cos(x/2^n)=\frac{\sin (x)}{2 \sin(x/2)}\cdot \frac{\sin (x/2)}{2 \sin(x/4)} \cdot \frac{\sin (x/4)}{2 \sin(x/8)} \cdots $$ Tratar el producto como límite de un producto finito $f_k(x)=\prod_{n=1}^k \cos(x/2^n)$ observamos que $$f_k(x)=\frac{\sin(x)}{2^k\sin(x/2^k)},$$ con $\lim_{k\to\infty} f_k(x)=\sin x/x$ . Así, $$\frac{\sin x}{x}=\prod_{n=1}^\infty \cos(x/2^n).$$

Pregunta:

Cómo demostrar que $(1)$ ¿es cierto sin usar el telescopio?

Answer 1

Esto se puede hacer mediante un truco que es esencialmente lo mismo que mirar este producto en el dominio de la frecuencia.

Para evitar cualquier dificultad analítica, vamos a examinar las sumas finitas; tenemos $$\prod_{n=1}^{k}\cos(x/2^n)=\prod_{n=1}^k\left(\frac{e^{ix/2^n}+e^{-ix/2^n}}{2}\right)$$ Podemos expandir la suma de la derecha como $$\frac{1}{2^k}\sum_{\sigma\in\{-1,1\}^k}\exp\left(ix\cdot \left(\sigma_1\cdot \frac{1}2+\sigma_2\cdot \frac{1}{2^2}+\ldots+\sigma_k\cdot \frac{1}{2^k}\right)\right)$$ donde $\sigma$ es una cadena de $k$ términos en $\{-1,1\}$ que representa qué lado de la suma dentro del producto anterior se siguió.

Se puede ver que para $n=1$ las frecuencias angulares encontradas (es decir, el coeficiente de $ix$ ) son $1/2$ y $-1/2$ . Para $n=2$ las frecuencias son $-3/4,\,-1/4,\,1/4,\,3/4$ . Podemos demostrar por inducción que los posibles valores de ese coeficiente son sólo el conjunto de números de la forma $a/2^k$ para los enteros Impares $a$ entre $-2^k$ y $2^k$ . Por lo tanto, la suma parcial resulta: $$\frac{1}{2^k}\cdot \sum_{\substack{a\text{ odd}\\ -2^k < a < 2^k}}\exp\left(ix \cdot \frac{-a}{2^k}\right)$$ Podríamos abandonar en este paso y reconocer que la suma es en realidad una serie geométrica (con relación $\exp\left(\frac{ix}{2^{k-1}}\right)$ ), lo que nos llevaría de nuevo a la expresión que derivaste para las sumas parciales. Sin embargo, también podríamos reconocer que se trata de una media de evaluaciones igualmente espaciadas de la función $z\mapsto \exp(ix\cdot z)$ en el intervalo $[-1,1]$ con más evaluaciones como $k$ aumenta; así, en el límite, este producto se convierte en una integral que da el valor medio de $\exp(ixt)$ en el intervalo $[-1,1]$ : $$\lim_{k\rightarrow\infty}\prod_{n=1}^k\cos(x/2^n) = \frac{1}2\int_{-1}^1\exp(ixt)\,dt$$ Por supuesto, esto es sólo la integración de una función exponencial, que se puede hacer fácilmente, y resulta en $\frac{\sin(x)}x$ .

Answer 2

He aquí un envoltorio diferente del mismo argumento básico presentado en la respuesta de Milo Brandt.

Dejemos que $X_k=\sum_{j=1}^k \sigma_j 2^{-j}$ donde el $\sigma_i$ son iid $\pm1$ variables aleatorias. Esto tiene una distribución uniforme en el $2^k$ puntos uniformemente espaciados $2^{1-k}$ en el rango de $-1+2^{-k}$ a $1-2^{-k}$ como se puede ver en las expansiones binarias de los enteros de $0$ a $2^k$ . Se puede comprobar directamente que $X_k$ converge en su distribución a la distribución uniforme continua en $[-1,1]$ .

La función característica de $X_k$ , es decir, la función $\phi_k(t)=E[\exp(itX_k)]$ viene dada por $\prod_{j=1}^k E[\exp(i \sigma_j 2^{-j})] = \prod_{j=1}^k \cos(t2^{-j})$ .

Por Teorema de continuidad de Lévy para cada $t$ , uno tiene $\lim_{k\to\infty}\varphi_k(t)=\varphi(t)$ , donde $\varphi(t)$ es la función característica de la distribución uniforme en $[-1,1]$ que es $$\varphi(t)=\frac 12\int_{-1}^1 \exp(itx)\,dx = \frac{\sin(t)}t.$$