Encontrar todas las soluciones suaves de $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=g$ para varios $g$

Question

Esta pregunta proviene de Variables complejas: Una introducción (pág. 226, pregunta 5):

Encuentre todas las soluciones $f\in\mathscr{E}(\mathbb{C})=\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{C})$ a la ecuación $\dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}=g$ para:

(a): $g(z)=z$

(b): $g(z)=\bar{z}$

(e): $g\in\mathscr{H}(\mathbb{C})$

(Me he saltado algunas de las preguntas)

Sinceramente, no sé cómo abordar este problema. Para (a) y (e), sabemos que tal solución existe por el Teorema 3.2.1 (que es la solución a la ecuación inhomogénea de Cauchy-Riemann, y dice que una solución suave existirá si $g$ es suave), pero ¿cómo clasificarías todas las soluciones (suaves)?

Para (b), podemos aplicar $\dfrac{\partial }{\partial {z}}$ a la ecuación para concluir que $f$ es armónico, pero todavía estoy un poco perdido para reducir el número de soluciones aquí.

Answer 1

Todo dado $g$ no involucran $\bar z$ mucho: aparece a la primera potencia, como mucho. Así que tiene sentido buscar $f$ de forma similar: $$f(z) = \bar z f_1(z)+\bar z^2 f_2(z)\tag1$$ donde $ f_1,f_2$ son holomorfos. (De forma más general, se podría considerar $\sum_{n=0}^N \bar z^n f_n(z)$ etc.)

La aplicación de la $\partial/\partial\bar z$ operador a $(1)$ y al igualar los coeficientes con el lado derecho dado te dará una solución.

Una vez que se tiene una solución, todas las demás soluciones se obtienen añadiendo una función holomorfa arbitraria $f_0$ . En efecto, para dos soluciones cualesquiera de la ecuación inhomogénea de Cauchy-Riemann, su diferencia resuelve la ecuación homogénea, es decir, es holomorfa.