Funciones que toman valores reales

Question

Supongamos que $f$ es un funcional acotado en un espacio de Hilbert separable. ¿Podemos encontrar siempre una base ortonormal tal que $f$ ¿toma valores reales sobre esa base?

Answer 1

Sugerencia: si $v_1, v_2, \ldots$ es una base ortonormal para su espacio de Hilbert y $\lambda_1, \lambda_2, \ldots \in \Bbb{C}$ con $|\lambda_1| = |\lambda_2| = \ldots = 1$ ¿Qué puede decir sobre $\lambda_1v_1, \lambda_2v_2, \ldots$ y sobre $f(\lambda_iv_i)$ ?