Función de continuidad

Question

Sea f una función real continua tal que $f(11)=10$ y para todos $x$ , $f(x)f(f(x))=1$ entonces cuál es el valor de $f(9)$ . Tengo $$f(10)=\frac{1}{10}$$

Answer 1

Cuando $x = 11$ , $f(11)f(f(11)) = 10f(10) = 1$ para que $f(10) = \frac1{10}$ .

Ahora, cuando $x = 10$ , $f(10)f(f(10)) = \frac1{10}f(\frac1{10}) = 1$ para que $f(\frac1{10}) = 10$ .

Por el teorema del valor intermedio, hay alguna $c$ en el intervalo $(10,11)$ para que $f(c) = 9$ . Aplicar la fórmula dada con $x = c$ .

Answer 2

En referencia a la respuesta de andy walker (lo siento, no puedo comentar todavía): Si arreglas $a=f(x)\ne 0$ para $x\in\mathbb{R}$ entonces está claro que la relación $af(a)=1$ se mantiene, es decir $f(a)=1/a$ para todos $a$ en el codominio de $f$ Es decir $f(\mathbb{R})$ .

Así que el argumento se puede extender fácilmente a $f(x) = 1/x \ \forall x\in [1/10,10]$ en primer lugar.