¿Qué son $E_\infty$ -¿Anillos?

Question

He estado trabajando con álgebras DG durante el último año, y he podido obtener con ellas algunos buenos resultados de álgebra homológica conmutativa.

Sin embargo, sigo oyendo hablar de un concepto (más general) de $E_\infty$ -como una noción mejor para hacer álgebra homológica no lineal.

Me preguntaba si alguien podría dar una explicación con los pies en la tierra: ¿qué son $E_\infty$ -¿Anillos? ¿Para qué sirven?

¿Son equivalentes (en algún sentido) a las álgebras DG superconmutativas? ¿Por qué la gente las prefiere a las álgebras DG?

¿Y cuáles son las referencias recomendadas para estudiarlas, desde el punto de vista del álgebra conmutativa?

Gracias.

Answer 1

No sé mucho sobre dg-algebras, pero al menos puedo decirte que un $E_\infty$ -el anillo es. Esperemos que alguien más venga a llenar los vacíos, así como a corregir los errores que seguramente cometeré en el camino. Lo primero que hay que saber es que " $E_\infty$ -ring" es en realidad la abreviatura de " $E_\infty$ -anillo espectro ". Asumiré que sabes lo que es un espectro, pero por supuesto dilo si no es así.

Un espectro anular es un espectro (ingenuo) $X$ con un mapa de unidades $S^0 \rightarrow X$ y un mapa de multiplicación $X \wedge X \rightarrow X$ tal que en el homotopía categoría, $X$ tiene la estructura de un objeto-anillo. (Recordemos que todos los espectros son objetos de grupos abelianos hasta la homotopía; de eso se trata). También podríamos añadir la palabra "conmutativo". Pero en cualquier caso, esto no se ajusta a todas nuestras necesidades ni mucho menos; a menudo no queremos pasar a la categoría de homotopía, pero tampoco es razonable restringir a los objetos-anillo de la categoría original. Así que nuestro compromiso es que seguimos diciendo que $X$ debe ser sólo un objeto-anillo en la categoría de homotopía, pero también queremos recordar las homotopías que hacen conmutar los axiomas-diagramas, y además queremos que todos sean coherentes de forma adecuada.

Para entender lo que esto significa, por el momento vamos a empezar con $A_\infty$ ( $A$ significa "asociativo", mientras que $E$ significa "todo", es decir, asociativo y conmutativo), y vamos a hablar sólo de espacios. Empezamos con un espacio $X$ equipado con un mapa de la unidad $\eta:\mbox{pt} \rightarrow X$ y un mapa de multiplicación $\mu:X \times X \rightarrow X$ que satisfacen los axiomas habituales. (El mapa unitario siempre tiene como origen la unidad de la estructura monoidal).

Se supone que es homotópico-asociativo, lo que implica en primer lugar que $\mu\circ (1 \times \mu) \simeq \mu \circ (\mu \times 1):X^{3} \rightarrow X$ . Esto lo atestigua una homotopía $m_3:I \times X^3 \rightarrow X$ es decir, tenemos un intervalo que parametriza toda una familia de triple-multiplicaciones, tal que en un extremo tenemos $(ab)c$ y en el otro extremo tenemos $a(bc)$ .

El siguiente paso, entonces, es ver lo que sucede en las multiplicaciones de 4 veces $X^4 \rightarrow X$ . Resulta que hay cinco formas de poner paréntesis $abcd$ a saber: $((ab)c)d$ , $(ab)(cd)$ , $a(b(cd))$ , $a((bc)d)$ , $(a(bc))d$ . Si miras lo que he hecho, verás que estos se sitúan de forma natural en los vértices de un pentágono $P$ y cada arista corresponde a una reasociación, es decir, a una aplicación de $m_3$ . Para que todo esto sea coherente, exigimos que podamos extender estos mapas $\partial P \times X^4 \rightarrow X$ a un mapa $m_4:P \times X^4 \rightarrow X$ interpolando entre todas las formas posibles de asociar cuatro factores.

A partir de aquí, se puede ver cuál debería ser la definición general de "coherencia superior de homotopía-asociación": hay una familia de espacios $\{\mathcal{A}_n\}_{n\geq 0}$ y ciertos mapas de estructura entre ellos (que son desordenados y que no escribiré), y estamos pidiendo una familia de mapas $m_n:\mathcal{A}_n \times X^n \rightarrow X$ -- o, de forma equivalente, un único mapa $m:\coprod_{n\geq 0} \mathcal{A}_n \times X^n \rightarrow X$ -- que respetan los mapas de estructura (de una manera que tampoco escribiré). Esta familia $\{\mathcal{A}_n\}_{n\geq 0}$ y sus mapas de estructura se conocen como $A_\infty$ -operad y un espacio $X$ junto con dicha familia de mapas se conoce como álgebra sobre esta operada. Así que $\mathcal{A}_3=I$ y $\mathcal{A}_4=P$ estos espacios $\mathcal{A}_n$ se conocen como ( Stasheff ) associahedra . Todos son contraíbles; la cuestión es que aunque no haya un único $n$ -multiplicación, lo mejor es que se interpolen de forma homotópica y trivial. (Se supone que el nivel 0 escoge el mapa unitario, así que tomamos $\mathcal{A}_0=\mbox{pt}$ y tenemos que acordar que $X^0=\mbox{pt}$ El nivel 1 se supone que recoge el mapa de identidad, por lo que $\mathcal{A}_1=\mbox{pt}$ también, y este requisito está envuelto en los mapas de estructura).

Todo esto es parte de una historia mucho más grande, por supuesto. $\{\mathcal{A}_n\}_{n\geq 0}$ es un ejemplo de operativa no simétrica ; esto es sólo una familia de espacios con mapas estructurales de la misma firma. Las operadas no simétricas forman una categoría modelo. Su objeto terminal es la "operada asociativa", que parametriza la multiplicación estrictamente asociativa (por lo que sus espacios son todos simplemente $\mbox{pt}$ ), y cualquier sustitución cofibrante puede considerarse como "un" $A_\infty$ -operación.

Esto nos lleva a $E_\infty$ -espacios; el $E_\infty$ -operad es un simétrico operad. La diferencia es que el $n^{th}$ espacio $\mathcal{E}_n$ viene con una acción del $n^{th}$ grupo simétrico $\Sigma_n$ y el $n^{th}$ mapa estructural de un álgebra $X$ sobre esta operada toma ahora la forma $\mathcal{E}_n \times_{\Sigma_n} X^n \rightarrow X$ (donde $\Sigma_n$ actúa por permutación sobre $X^n$ ). El $E_\infty$ -operad tiene todos sus espacios contráctiles y todas las acciones simétricas libres; en otras palabras, $\mathcal{E}_n = E\Sigma_n$ . El que me gusta pensar es $\mathcal{E}_2=E\Sigma_2 = S^\infty$ y el mapa estructural asociado $S^\infty \times_{\Sigma_2} X^2 \rightarrow X$ . Un camino en $S^\infty$ del polo norte al polo sur (¡cuyo espacio es contractible!) nos da una homotopía de alguna multiplicación $\mu:X^2 \rightarrow X$ a $\mu\circ \tau:X^2 \rightarrow X$ , donde $\tau:X^2\rightarrow X^2$ es el mapa de torsión. En otras palabras, para $\mu$ para satisfacer la condición de nivel 2 de describir un $E_\infty$ -multiplicación en $X$ no sólo debe existir una homotopía de $\mu$ a $\mu\circ\tau$ , pero el espacio de tales homotopías que seguimos debe ser contráctil.

El lenguaje de las operadas que he descrito se traslada directamente a los espectros: un $E_\infty$ -es sólo un espectro que es un álgebra sobre el $E_\infty$ -operad (ya sea la misma, utilizando el hecho de que puede aplastar espacios y espectros, o bien una versión interna a la categoría de espectros). $E_\infty$ -Los espectros de los anillos son importantes en la teoría de la homotopía, por ejemplo, porque dan lugar a operaciones de potencia (por ejemplo, los cuadrados de Steenrod, es decir, las transformaciones naturales de los funtores $H^m(-;\mathbb{F}_2)\rightarrow H^n(-:\mathbb{F}_2)$ ), pero también hay razones externas y algebraicas por las que son interesantes. Sobre todo, $E_\infty$ -espectros de anillos son exactamente aquellos espectros de anillos cuyas categorías de módulos-espectros admiten una buena noción de producto tensorial y hom interno y que son simplicialmente bitensibles (lo que significa que hay buenas nociones de tensado de un módulo con un conjunto simplicial y de la cartografía-objeto de un conjunto simplicial en un módulo, de una manera compatible con la estructura simplicial en la categoría de módulos en primer lugar). Esto permite hacer álgebra homológica, como sugieres, así como lo que se conoce como geometría algebraica "derivada".

Por último, me gustaría señalar que los ejemplos de espacios y espectros están más relacionados de lo que se cree. El $E_n$ -operad también se conoce como el "pequeño $n$ -discos operad"; su $n^{th}$ es el espacio de las configuraciones ordenadas de $n$ poco disociado $n$ -discos (o, homotopía-equivalente, puntos) sentados dentro de la unidad $n$ -disco $D^n$ . Un $E_n$ -estructura de álgebra en un espacio $X$ es precisamente lo mismo que un $n$ -Doble desprendimiento $X_n$ de $X$ (es decir, un homeomorfismo $X \cong \Omega^n X_n$ ). El $E_\infty$ -operad es el límite directo del $E_n$ -operaciones (de hecho, un modelo para $E\Sigma_n$ son configuraciones ordenadas de $n$ puntos en $D^\infty$ ), y por lo tanto un $E_\infty$ -estructura de álgebra en $X$ , suponiendo que $X$ es "grupal" (es decir, que $\pi_0X$ es un grupo en lugar de un simple monoide) es precisamente lo mismo que un conectivo- $\Omega$ -espectro (es decir, un $\Omega$ -espectro indexado en los enteros no negativos con $X$ como su $0^{th}$ espacio). De hecho, suponiendo que hayas elegido un buen $E_\infty$ -operad, las categorías de los grupos $E_\infty$ -y los espectros conectivos son equivalentes a los de Quillen. Bajo esta correspondencia, un anillo honesto $R$ (visto como un espacio discreto) corresponde al espectro de Eilenberg-MacLane $HR$ que representa la teoría de cohomología $H^*(-;R)$ y hasta la equivalencia, estos son precisamente los $E_\infty$ -que tienen grupos de homotopía triviales a partir de la dimensión 0. Así, la categoría de $E_\infty$ -Los espectros de los anillos son una gran ampliación de la categoría de los anillos ordinarios. En particular, los geómetras algebraicos se entusiasman porque $\mathbb{Z}$ ya no es inicial -el espectro de la esfera lo es- y, por tanto, la geometría algebraica "derivada" permite trabajar sobre una base más profunda. Hay cierta filosofía en la línea de "el espectro de la esfera es el espectro de la teoría K del campo con un elemento", pero esto está muy fuera de mi alcance, así que lo dejaré aquí.

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EDITAR : Por si sirve de algo, desde que publiqué la respuesta anterior he aprendido un poco sobre la relación entre las dg-algebras y sus primos. Esto es lo que puedo decir.

Dado un anillo conmutativo ordinario $R$ hay (al menos) tres nociones de "derivación conmutativa $R$ -álgebra" que uno podría considerar: simplicial $R$ -(que denotaré por $\mathcal{SCR}_{R/}$ ), dg $R$ -(que denotaré por $\mathcal{DGA}_{R/}$ ), y $E_\infty$ -espectro de anillos que son $HR$ -(donde $H$ es el functor "espectro de Eilenberg--MacLane") (que denotaré por $\mbox{Alg}_{E_\infty}(\mbox{Sp})_{HR/}$ ). En general, hay funtores $$\mathcal{SCR}_{R/} \xrightarrow{f} \mathcal{DGA}_{R/} \xrightarrow{g} \mbox{Alg}_{E_\infty}(\mbox{Sp})_{HR/} .$$

Ahora, cuando $R$ es un $\mathbb{Q}$ -álgebra, entonces $f$ induce una equivalencia sobre los objetos "conectivos" (es decir, los que no tienen homología por debajo del grado 0) y $g$ es una equivalencia. Sin embargo, en general son no equivalencias, y no sólo por la razón inmediata de que los objetos de $\mathcal{SCR}_{R/}$ son por construcción conectiva mientras que los de las dos últimas categorías no lo son. En efecto, $\mathcal{SCR}_{R/}$ modela la teoría de conmutativo topológico $R$ -(y equivalencias débiles de homotopía) - la palabra "simplicial" aquí es sólo un recurso técnico para hacer las cosas más limpias y combinatorias. Por otro lado, la subcategoría $\mbox{Alg}_{E_\infty}(\mbox{Sp})_{HR/}^{\scriptsize \mbox{conn}} \subset \mbox{Alg}_{E_\infty}(\mbox{Sp})_{HR/}$ de conectividad $E_\infty$ - $HR$ -Las álgebras pueden ser consideradas como un modelo conmutativa hasta la homotopía coherente topológico $R$ -algebras (es decir, $E_\infty$ en el sentido descrito anteriormente en esta respuesta). De hecho, hay una adición $$\mathcal{SCR}_{R/} \rightleftarrows \mbox{Alg}_{E_\infty}(\mbox{Sp})_{HR/}^{\scriptsize \mbox{conn}} ,$$ donde el adjunto izquierdo olvida que la multiplicación era estricta y el adjunto derecho toma el "mayor subobjeto estrictamente conmutativo". Además, este adjunto es incluso comonádico : en otras palabras, un objeto de $\mathcal{SCR}_{R/}$ es ni más ni menos que un objeto de $\mbox{Alg}_{E_\infty}(\mbox{Sp})_{HR/}^{\scriptsize \mbox{conn}}$ cuya inclusión natural desde su "mayor subobjeto estrictamente conmutativo" es una equivalencia.

Por otro lado, también podemos dar unos pasos atrás: las nociones de dg- $R$ -módulo y $HR$ -son equivalentes (al igual que las nociones de espectro simplicial $R$ -módulo y conectivo $HR$ -), y de hecho dg- $R$ -con una multiplicación estrictamente asociativa modelan efectivamente $A_\infty$ - $HR$ -espectros de álgebra. Sólo cuando pasamos al conmutativo que ya no podemos modelar la versión "hasta la homotopía coherente" con la versión "en la nariz". Por supuesto, todavía se puede modelar $E_\infty$ - $HR$ -a través de (la noción apropiada de) $E_\infty$ -dg- $R$ -algebras...

Para un poco más (incluyendo la declaración de comonadicidad y una buena explicación a través de las dos nociones de "la línea afín" en $E_\infty$ -de los anillos), le recomiendo que lea la sección 2.6 de La tesis de Lurie (disponible como enlace hacia abajo), pp. 45-50.