Probabilidad de que las parejas se sienten una al lado de la otra (sentadas en fila)

Question

Supongamos que tenemos 4 parejas y 8 plazas. Los asientos están orientados de tal manera que se trata de una fila. Las personas toman sus asientos de forma aleatoria.

¿Cuál es la probabilidad de que 2 parejas se sienten una al lado de la otra?

Mi trabajo: Etiquetemos a la gente como $A_1, A_2, A_3, A_4, B_1, B_2, B_3, B_4$ . $A_i$ y $B_i$ son parejas. Entonces, queremos saber la probabilidad de $P(C_i \cap C_j), i \neq j$ y $C_i$ significa pareja $i$ están sentados uno al lado del otro.

Entonces, supongamos que fijamos $C_i$ y $C_j$ . Entonces, la disposición de las filas podría ser algo así: $\{ C_i, C_j, a,b,c,d\}$ , donde $a,b,c,d$ son las 4 personas restantes. Entonces, hay $\binom{6}{2}$ formas de elegir posiciones para $C_i$ y $C_j$ , $2!$ formas de disponer los elementos en $C_i$ , $2!$ formas de organizar los elementos en $C_j$ , $2!$ formas de organizar $C_i$ y $C_j$ entre sí, y $4!$ formas de organizar a las 4 personas restantes. Hay $8!$ formas de organizar a las 8 personas en una fila. Además, hay $\binom{4}{2}$ formas de elegir 2 parejas de entre 4 parejas.

Poniendo todo esto junto, $$ P(C_i \cap C_j) = \frac{\binom{6}{2} \binom{4}{2} 2! 2! 2! 4! }{8!}$$

Tengo curiosidad porque esto difiere de la solución dada aquí: solución en caché de google

Nótese que en la parte inferior de la página 5, la diferencia es que a la solución de google le falta un $\binom{6}{2}$ lo que significa que podemos elegir 2 posiciones para $C_i$ y $C_j$ de los 6 puestos disponibles. (Por favor, observe la cantidad $p_2$ en el documento enlazado). El factor $\binom{4}{2}$ se contabiliza más adelante en la parte superior de la página 6, donde el autor suma todas las probabilidades correspondientes a los posibles índices $i$ y $j$ .

Gracias.

Answer 1

Estoy de acuerdo contigo en que la respuesta de la caché parece incorrecta y que falta el factor 15 en $p_2$ (y de 20 en $p_3$ ).

Cuando se pregunta "¿Cuál es la probabilidad de que 2 parejas se sienten una al lado de la otra?" se está mirando lo que originalmente era el $p_2$ parte de la pregunta "¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las esposas acabe sentada junto a su marido?".

$p_2$ es la probabilidad de que dos parejas concretas se sienten con el marido al lado de la mujer. Como usted dice, la ${4 \choose 2} = 6$ por lo que dos parejas son se incluye en el $4p_1-6p_2+4p_3-p_4$ fórmula.

Diría entonces que las dos parejas particulares se han convertido cada una en una unidad (con $(2!)^2$ formas de ordenar los individuos dentro de la pareja), reduciendo el número de unidades ordenables de $8$ a $6$ por lo que deberíamos tener $$p_2 = \frac{(2!)^2 \; 6!}{8!} \approx 0.071428571 $$ y de manera similar $p_1 = \frac{(2!)^1 \; 7!}{8!} = 0.25$ , $p_3 = \frac{(2!)^3 \; 5!}{8!} \approx 0.023810$ y $p_4 = \frac{(2!)^4 \; 4!}{8!} \approx 0.00952381$ .

Para $p_2$ y $p_3$ no son los mismos que la respuesta en caché, aunque el $p_2$ es el mismo que el tuyo. Utilizando la fórmula de inclusión-exclusión, esto me da una probabilidad de que al menos una de las esposas acabe sentada junto a su marido de aproximadamente $0.657142857$ , no el $0.9666667$ de la respuesta en caché.

Una simulación me convence de que esto parece plausible.

Answer 2

Entonces, hay $\binom{6}{2}$ formas de elegir posiciones para $C_i$ y $C_j$

Creo que aquí es donde te equivocas. De hecho, sólo hay 5 (como en $\binom{5}{1}$ ) formas de colocarlos (teniendo en cuenta que usted cuenta para el orden más tarde):

• $(C_iC_j,a,b,c,d)$
• $(a,C_iC_j,b,c,d)$
• $(a,b,C_iC_j,c,d)$
• $(a,b,c,C_iC_j,d)$
• $(a,b,c,d,C_iC_j)$