Transformación lineal sobreyectiva

Question

Tengo algunos problemas para resolver este problema:

Dejemos que $V$ , $W$ sean dos espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$ de las dimensiones $m$ y $n$ respectivamente. Sea $T, S: V \rightarrow W $ sean transformaciones lineales con $T$ siendo surjetivo. Demuestre que $T+tS$ es suryente para todo $t \in \mathbb{C} $ excepto un número finito de valores.

Lo único que saco de esto es que $m $ debe ser mayor que $n$ pero no sé cómo proceder.

Answer 1

Desde $T$ es suryente, existe $e_1,..,e_n\in V$ tal que $T(e_1),...,T(e_n)$ es una base de $W$ , dejemos que $U=Vect(e_1,..,e_n)$ y $(f_1,..,f_n)$ una base de $W$ Considera que $M_U$ la matriz de $T$ relativamente a $(e_1,..,e_n)$ y $(f_1,..,f_n)$ considere $P(t)=det(M_U+tN_U)$ donde $N_U$ es la matriz de la restricción de $S$ a $U$ relativamente a $(e_1,..,e_n)$ y $(f_1,..,f_n)$ es un polinomio no trivial ya que $P(0)\neq 0$ y tiene un número finito de raíces.