He visto $$\int_0^\infty \frac{\cos(x)}{x^2+1} \, dx=\frac{\pi}{2e}$$ evaluado de varias maneras.
Es bastante popular cuando se estudia CA.
Pero, ¿qué pasa con $$\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x^2+1} \, dx\,\,?$$
Esto parece ser más complicado y desafiante.
Descubrí que tiene una forma cerrada de $$\cosh(1)\operatorname{Shi}(1)-\sinh(1)\text{Chi(1)}\,\,,\,\operatorname{Shi}(1)=\int_0^1 \frac{\sinh(x)}{x}dx\,\,,\,\, \text{Chi(1)}=\gamma+\int_0^1 \frac{\cosh(x)-1}{x} \, dx$$
que son las integrales hiperbólicas seno y coseno, respectivamente.
Es una función extraña, así que $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(x)}{x^2+1} \, dx=0$$
Pero, ¿alguien sabe cómo se puede hacer el primer caso? Muchas gracias.
