La enfermedad de Osgood condición

Question

Deje $h$ $g$ ser continua, no decreciente y cóncava funciones en el intervalo de $[0,\infty)$$h(0)=g(0)=0$$h(x)>0$$g(x)>0$$x>0$, de forma que ambas satisfacen la condición de la enfermedad de Osgood $$\int_{0+}\frac{dx}{f(x)}=\infty.$$

¿Existe una función cóncava $F$ tal que $F(x)\geq h(x)$ $F(x)\geq g(x)$ todos los $x$, y satisface la condición de la enfermedad de Osgood?

Answer 1

Creo que hay un montón de redundante de información en esta pregunta. Si $f(x)$ es positiva y cóncava en $\mathbb{R}^+$ debe ser continua (continuidad es una consecuencia de la concavidad) y no decreciente, ya que de lo contrario, asumiendo $a<b$$f(b)<f(a)$, la gráfica de $f$$(b,+\infty)$, tumbado debajo de la línea a través de$(a,f(a))$$(b,f(b))$, debe intersectar el $x$-eje en algún punto de $c>b$. Una concavidad de la función es también casi en todas partes diferenciables, por lo que para casi todos los $z\in\mathbb{R}^+$ tenemos: $$\forall x>z,\quad f(x)< f'(z)(x-z)+f(z),\qquad f(z),f'(z)>0$$ por las mismas razones que el anterior. De ello se sigue que: $$\int_{z}^{M+z}\frac{dx}{f(x)}\geq\int_{0}^{M}\frac{dx}{f'(z)\,x+f(z)}=\frac{1}{f'(z)}\log\left(1+\frac{f'(z)}{f(z)}M\right)$$ para la enfermedad de Osgood se cumpla la condición de que, sin más suposiciones. De ello se sigue que si $g(x)$ $h(x)$ son positivas cóncava funciones en $\mathbb{R}^+$, $F(x)=g(x)+h(x)$ es mayor de ambos, positiva y cóncava, por lo que se satisface la condición de la enfermedad de Osgood.