No estoy seguro de por qué la parte compleja de esta integral es cero

Question

Estoy tratando de seguir una prueba (con muchos pasos omitidos) y llegué al lado izquierdo de la ecuación de abajo. La prueba, sin embargo, continúa con el lado derecho.

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{imx}-xime^{imx}}{(x^2+a^2)^{3/2}}dx = 2\int_{0}^{\infty} \frac{\cos (mx)+mx \sin (mx)}{(x^2+a^2)^{3/2}}dx$$

¿Hay alguna buena razón para que la componente compleja de la integral de la izquierda sea cero? Lo siento, mis matemáticas no son muy buenas...

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $f$ es una función impar entonces, $\forall a \in \mathbb{R}$ $$\int_{-a}^{a} f=0$$ Y si $\exists \int_{0}^{\infty} f$ y $\exists\int_{-\infty}^{0} f$ (no es infinito), entonces $$\int_{-\infty}^{\infty} f=0$$ Y en el caso de la función par, $\forall a \in \mathbb{R}$ $$\int_{-a}^{a}f=2\int_{0}^{a}f$$ Y si $\exists \int_{0}^{\infty} f$ y $\exists\int_{-\infty}^{0} f$ (no es infinito), entonces $$\int_{-\infty}^{\infty} f=2\int_{0}^{\infty}f$$ En su caso, $\frac{i\sin(mx)}{(x^2+a^2)^{3/2}}$ y $\frac{-mix\cos(x)}{(x^2+a^2)^{3/2}}$ son impar, y $\frac{\cos(mx)}{(x^2+a^2)^{3/2}}$ y $\frac{mx\sin(mx)}{(x^2+a^2)^{3/2}}$ están igualados.

Answer 2

Nótese que por la fórmula de Euler $(1-i m x) \exp (i m x) = i \sin (m x)+m x \sin (m x)-i m x \cos (m x)+\cos (m x)$ . Por tanto, la parte impar del integrando es igual a su parte imaginaria. Sin embargo, la integral simétrica sobre un integrando impar desaparece trivialmente.