¿Se puede simplificar esta congruencia?

Question

$$p(p+1) \equiv -q(q+1) \bmod pq$$

¿Puede reducirse a un formato más sencillo?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$p(p+1) + q(q+1) = p^2 + q^2 + p + q \equiv p^2 + 2 p q + q^2 + p + q \equiv (p+q)(p+q+1) \mod pq$$ por lo que equivale a $$ (p+q)(p+q+1) \equiv 0 \mod pq $$ Tenga en cuenta también que $p+q+1 \equiv (p+1)(q+1) \mod pq$ por lo que equivale a $$(p+q)(p+1)(q+1) \equiv 0 \mod pq$$

Answer 2

Mod $pq$ , $p(p+1) \equiv -q(q+1) \iff p^2+p = -q^2-q \iff p^2+q^2 +p+q =0 $

$\begin{array}\\ (p+q+1)^2 &\equiv p^2+q^2+1+2pq+2p+2q\\ &\equiv p^2+q^2+1+2p+2q\\ &\equiv (p^2+q^2+p+q)+p+q+1\\ &\equiv p+q+1\\ \end{array} $

Por lo tanto, si $n = p+q+1$ , $n^2 \equiv n$ o $n(n-1) \equiv 0 $ .

Si $p$ y $q$ son primos distintos (o incluso sólo relativamente primos), entonces $gcd(n-1, p) = gcd(n-1, q) = 1$ , por lo que $n \equiv 0 $ .

Pero $n < pq $ , por lo que esto no se puede sostener.