No hay homomorfismos de anillo $f: R[x]/ \langle p(x) \rangle \to K$ si $p(x)=0$ no tiene soluciones en K.

Question

Me encontré con esta afirmación aquí . En general se diría:

Dejemos que $R$ y $K$ sean anillos conmutativos con unidad. No hay homomorfismos $f: R[x]/ \langle p(x) \rangle \to K$ si $p(x)=0$ no tiene soluciones en $K$ .

Esta es una pregunta probablemente muy básica, pero todavía no estoy seguro de entender correctamente por qué funciona lo anterior. Este es mi proceso de pensamiento:

Denotemos $p(x) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} a_kx^k$ . Tengo claro que desde $f$ es un homomorfismo de anillo tenemos $f(0_{{}_R} + \langle p(x) \rangle) = 0_{{}_K}$ . También puedo ver que $f(p(x)) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} f(a_kx^k) = 0$ da el resultado deseado si $f$ es una función de $R[x]$ .

Pero $f$ es una función de $R[x]/ \langle p(x) \rangle$ Así que no estoy seguro de por qué sería legal "invadir" el coset $(0_{{}_R} + \langle p(x) \rangle)$ con esta función.

Answer 1

Creo que has generalizado demasiado. La afirmación " $p(x)=0$ no tiene soluciones en $K$ " no tiene sentido sin más suposiciones, ya que $p(x)$ tiene coeficientes en $R$ y no hay multiplicación entre elementos de $R$ y $K$ .

Si $K$ sin embargo es un $R$ -lo que significa que $R$ viene equipado con un homomorfismo de anillo $\varphi:R\to K$ entonces la afirmación tiene sentido, ya que se puede utilizar $\varphi$ para transformar los coeficientes de $p(x)$ de $R$ a $K$ .

La afirmación correcta sería entonces:

No hay $R$ -homomorfismos de álgebra $R[x]/ \langle p(x) \rangle \to K$ si $p(x)=0$ no tiene soluciones en $K$ .

Esto se debe a que si $f: R[x]/ \langle p(x) \rangle \to K$ es un $R$ -entonces para $s=f([x])$

$$0=f([0]) =f([p(x)]) =f([\underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} a_kx^k]) =\underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} f([a_k])[x]^k]) =\underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} \varphi (a_k)s^k=:p(s)$$

El requisito más estricto de que $f$ es un homomorfismo de $R$ -garantiza que $f([r])=\varphi(r)$ para todos $r\in R$ .

En la pregunta vinculada $R=\mathbb Z$ , $K=\mathbb Z_n$ y en este caso cualquier homomorfismo de anillo $\mathbb Z[x]/\langle p(x)\rangle\to \mathbb Z_n$ es automáticamente un $\mathbb Z$ -homomorfismo de álgebra.